随机过程初级教程 第一章

2024-02-17 21:44

本文主要是介绍随机过程初级教程 第一章,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

随机过程初级教程 第一章

  • 概率公式
    • 全概率公式
    • 随机变量的无限族
    • 特征函数
    • 母函数和拉普拉斯变换
    • 一些常见的分布
    • 极限定理
    • 不等式
  • 随机过程的例子
    • 布朗运动
    • 泊松过程
  • 随机过程类型
    • 平稳独立增量过程
    • 马尔科夫过程
    • 平稳过程
    • 更新过程
    • 点过程

概率公式

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全概率公式

P r ( X ≤ x ) = P r ( X ≤ x , Y ≤ ∞ ) = ∫ − ∞ + ∞ F X ∣ Y ( x ∣ y ) d F Y ( y ) Pr(X\leq x)=Pr(X\leq x, Y\leq \infty)=\int_{-\infty}^{+\infty}{F_{X|Y}(x|y)dF_Y(y)} Pr(Xx)=Pr(Xx,Y)=+FXY(xy)dFY(y)
Y Y Y有概率密度函数 p Y ( y ) p_Y(y) pY(y)时,公式转变为:
P r ( X ≤ x ) = P r ( X ≤ x , Y ≤ ∞ ) = ∫ − ∞ + ∞ P r ( X ≤ x ∣ Y = y ) p Y ( y ) d y Pr(X\leq x)=Pr(X\leq x, Y\leq \infty)=\int_{-\infty}^{+\infty}{Pr(X\leq x|Y=y)p_Y(y)dy} Pr(Xx)=Pr(Xx,Y)=+Pr(XxY=y)pY(y)dy
x , y x,y x,y有联合密度时,我们可以定义 Y = y Y=y Y=y时,X的条件密度函数为 p X ∣ Y ( x ∣ y ) = d d x F X ∣ Y ( x ∣ y ) = p X Y ( x y ) p Y ( y ) p_{X|Y}(x|y)=\frac{d}{dx}F_{X|Y}(x|y)=\frac{p_{XY}(xy)}{p_Y(y)} pXY(xy)=dxdFXY(xy)=pY(y)pXY(xy)在这里插入图片描述
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随机变量的无限族

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特征函数

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母函数和拉普拉斯变换

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一些常见的分布

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极限定理

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不等式

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随机过程的例子

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布朗运动

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泊松过程

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随机过程类型

平稳独立增量过程

独立增量: X t − X t − 1 , ∀ t ∈ T X_t-X_{t-1}, \forall t\in T XtXt1,tT互相独立。
平稳增量: X t − X s , t > s X_t-X_s, t>s XtXs,t>s只与 t − s t-s ts有关,与 s s s无关。

∀ t 1 , t 2 , . . . , t n , a n d ∀ a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R E [ X t n + 1 ∣ X 1 = a 1 , X 2 = a 2 , . . . , X t n = a n ] = a n \forall t_1,t_2,...,t_n, and \forall a_1,a_2,...,a_n\in R\\ E[X_{t_n+1}|X_1=a_1,X_2=a_2,...,X_{t_n}=a_n]=a_n t1,t2,...,tn,anda1,a2,...,anRE[Xtn+1X1=a1,X2=a2,...,Xtn=an]=an

马尔科夫过程

∀ t 1 , t 2 , . . . , t n < t P r ( a < X t < b ∣ X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , . . . , X t n = x n ) = P r ( a < X t < b ∣ X t n = x n ) \forall t_1,t_2,...,t_n<t\\ Pr(a<X_t<b|X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_{t_n}=x_n)=Pr(a<X_t<b|X_{t_n}=x_n) t1,t2,...,tn<tPr(a<Xt<bX1=x1,X2=x2,...,Xtn=xn)=Pr(a<Xt<bXtn=xn)
这蕴含着条件独立性。
转移概率函数: p ( x , s ; t , A ) = P r ( X t ∈ A ∣ X s = x ) p(x,s;t,A)=Pr(X_t\in A|X_s=x) p(x,s;t,A)=Pr(XtAXs=x)
马尔科夫链:状态空间是有限或可数的马尔可夫过程。
扩散过程:状态空间是连续的马尔可夫过程。

平稳过程

严格平稳:对任意 h > 0 h>0 h>0和任意 t 1 , t 2 , . . . , t n ∈ T t_1,t_2,...,t_n\in T t1,t2,...,tnT,随机变量组 ( X t 1 + h , X t 2 + h , . . . , X t n + h ) (X_{t_1+h},X_{t_2+h},...,X_{t_n+h}) (Xt1+h,Xt2+h,...,Xtn+h) ( X t 1 , X t 2 , . . . , X t n ) (X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_n}) (Xt1,Xt2,...,Xtn)的联合分布函数相同。

特别的对任意时刻t, X t X_t Xt的分布都相同。

称马尔可夫过程有平稳转移概率,如果 p ( x , s ; t , A ) p(x,s;t,A) p(x,s;t,A) t − s t-s ts的函数。

泊松过程和布朗运动都不是平稳的,但增量 Z t = X t + h − X t Zt = X_{t+h} − X_t Zt=Xt+hXt对任意固定h是平稳随机过程

不存在非常数的平稳独立增量过程是平稳过程。

更新过程

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点过程

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