中国古代初入相补原理

2024-02-05 01:28

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中国古代初入相补原理

赵爽(约182---250年,东汉末至三国时代吴国人),为《周髀算经》做注时记述了勾股定理的理论证明,将勾股定理表述为:“勾股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦。”证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实。”

他设计的弦图:

如图,2ab+(b-a)²=c²,化简便得a²+b²=c²。其基本思想是图形经过割补后,面积不变。

出入相补原理指一个几何图形(平面的或立体的)被分割成若干部分后,面积或体积的总和保持不变。例如:

《九章算术》提出的面积体积公式,大部分是依据出入相补原理推导而来。

“出入相补” 这个词出自于刘徽(约225年—约295年,魏晋期间的数学家)在《九章算术注》勾股章:

勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也。合成弦方之幂。开方除之,即弦也。

今译:勾自乘为朱色的正方形,股自乘为青色的正方形,使它们按照自己的类别进行出入相补,而使其余的部分不移动,就合成以弦为边长的正方形之面积。对之作开方除法,就得到弦。

“出”意味着面积(或体积)减少,“入”意味着面积(或体积)增加;出入相补,即面积(体积)间的和差关系不变。“出入相补原理”也称割补原理或等积变换原理。

 刘徽的证明原来应该有制图,可惜现已失传。下图是后人从以上述的文字复原的两种:

显然,两个小正方形的面积和等于大正方形的面积(a²+b²=c²),从而

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