省选 2017 杂题汇总

本文主要是介绍省选 2017 杂题汇总，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

[ZJOI2017]仙人掌
发现可以把一个仙人掌看做所有环组成的图，如果不是环而是单个边，我们可以手动给它填一条边变成环
考虑一棵树怎么做？
就是在树上选若干条互不相交的链的方案数，考虑树形 $dp$
$f_i$ 表示到 i 的子树的方案数，$g_i$ 表示一个点有 i 条边相连，两两配对或者单身的方案数
$g_i=g_{i-1}+(i-1)\ast g_{i-2}$，前面表示当前边单身，后面表示当前边配对
考虑转移的时候无论如何都会从下面窜出来一条，还要考虑父亲那条边，于是有
$f_u=\prod f_v\ast g_{|son|+1}$，根不算父亲那条边就可以了
[ZJOI2017]树状数组
考虑他写的跟正确的有什么变化
如果用后缀表示，首先他求的是 $S_r-S_{l-1}$，而正确的是$S_l-S_{r+1}$
发现 $S_r-S_{l-1}=-A_{l-1}+S_r-S_l$, $S_l-S_{r+1}=S_l-S_r+A_r$
于是求的就是 $A_{l-1}$ 与 $A_r$ 相同的概率
考虑直接维护 $a_i$与 $a_j$ 相等的概率
如果 $a_i\in [1,l-1]$，$a_j\in [l,r]$ ，有 $\frac{1}{len}$ 的概率改变
如果$a_i\in [l,r]$，$a_j\in [l,r]$，有 $\frac{2}{len}$ 的概率改变
如果$a_i\in [l,r]$，$a_j\in [r+1,n]$，有 $\frac{1}{len}$ 的概率改变
然后可以用线段树维护一下这个矩阵，加上一个概率的时候需要合并
假如原来有 p 的概率相同，当前有 q 的概率改变，那么最后相同的概率就是 $p\ast (1-q)+(1-p)\ast q$
我们注意到，find 函数中如果 x = 0，直接返回 0
问的是前缀和后缀相同的概率
对于 $[l,r]$ 的修改，$[1,l-1],[r+1,n]$一定改变，$[l,r]$ 不变的概率为 $\frac{1}{len}$
所以在维护二维线段树的同时需要在维护一棵一维的线段树
[BJOI2017]树的难题
考虑点分，如何合并?
把子树按颜色排序，维护两棵线段树，与到分治中心的距离为下标，一棵维护当前颜色，一棵维护之前出现的颜色，线段树可以写成单点修改区间查最大
[BJOI2017]魔法咒语
代码分块，对于$L\le 100$时，和 $L\le 2$分别考虑
前面那个就是一个比较裸的 dp，后面那个可以用矩阵乘，
由于 $L\le 2$，于是要把 $f_i$和 $f_{i-1}$都放进去
[HNOI2017]单旋
手玩一下 $splay$ 到根，发现树的形态基本不变，于是就可以用 $LCT$ 模拟了，顺便维护一下 $dep$
插入操作用 set 查一下该插到哪儿，然后就可以慢慢去 $debug$ 了
[HNOI2017]影魔
考虑一个点 i ，左边第一个比它大的 $l_i$，右边第一个比它大的 $r_i$
那么区间 $[l,r]$ 有 $p_1$ 的贡献
区间 $[l+1--i,r-1]$ 有 $p_2$ 的贡献
区间 $[l+1,i+1--r]$ 有 $p_2$ 的贡献
于是我们可以把这些操作排序，扫到 $l_i$ 的时候更新一下$r_i$
扫到 $l_i+1$ 的时候更新一下 $i+1--r$
然后将询问离线，考虑一个 $[l,r]$的询问，我们可以将刚刚排序的在 $[l,r]$ 之间的加一遍，然后查区间 $[l,r]$的答案，反过来想就是 r 的答案 - l-1 的答案就可以了
[SDOI2017]遗忘的集合
背包的套路：考虑生成函数，$a_i$ 表示 i 是否出现在集合中
则生成函数是$f(x)=\sum (\frac{1}{1-x^i}{)}^{a_i}$
两边取 ln，$-ln(f(x))=\sum a_i\ast ln(1-x^i)$
对 $ln(1-x^i)$ 求导，类似付公主的背包，可以得到
$ln(f(x))={\sum }_{T=1}({\sum }_{d|T}{a}_d\ast \frac{d}{T})x^T$
ln 后调和级数枚举一下贡献即可

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