本文主要是介绍lightoj 1336 - Sigma Function（算数基本定理），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
Sigma function is an interesting function in Number Theory. It is denoted by the Greek letter Sigma (σ). This function actually denotes the sum of all divisors of a number. For example σ(24) = 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Sigma of small numbers is easy to find but for large numbers it is very difficult to find in a straight forward way. But mathematicians have discovered a formula to find sigma. If the prime power decomposition of an integer is
Then we can write,
For some n the value of σ(n) is odd and for others it is even. Given a value n, you will have to find how many integers from 1 to n have even value of σ.
Input
Input starts with an integer T (≤ 100), denoting the number of test cases.
Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 1012).
Output
For each case, print the case number and the result.
Sample Input | Output for Sample Input |
| 4 3 10 100 1000 | Case 1: 1 Case 2: 5 Case 3: 83 Case 4: 947 |
题意：让你求1~n中有多少个数的约数和是偶数。
这里我们利用了算数基本定理的另一条，N的约数和 = （1+p1+p1^2+p1^3+...+p1^a1）*(1+p2+p2^2+...+p2^a2)*...*(1+pn+pn^2+...+pn^an);
我们知道偶数乘偶数等于偶数，奇数乘奇数等于奇数，偶数乘奇数等于偶数，题目让求为偶数的数量，我们可以反过来求等于奇数的数量有多少，然后用n一减就得到了答案。
又因为质数中除了2，其他都是奇数，所以pi的所有次方都是奇数，那么要求奇数的数量，那么就得让每一个乘积项的值都为奇数，所以ai的值就一定是偶数。如果ai的值为偶数，就可以发现n就是一个完全平方数。
又因为不管2的幂次是多少，它的次方和全是偶数，再加上一个1，肯定为奇数，所以一个完全平方数的2倍的约数和也是奇数，当然一个完全平方数的4倍的约数和也是奇数，不过乘上4之后就变成了另一个完全平方数，所以就不用单独计算了。
所以1~n中约数和的数量就等于n - 1~n中完全平方数的个数 - 1~n中完全平方数的2倍小于n的个数（就相当于1~n/2中完全平方数的个数）
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long longusing namespace std;int main(void)
{int T;LL n;scanf("%d",&T);int cas = 1;while(T--){scanf("%lld",&n);LL ans = n - (int)sqrt(n) - (int)sqrt(n/2);printf("Case %d: %lld\n",cas++,ans);}return 0;
}
这篇关于lightoj 1336 - Sigma Function（算数基本定理）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
