Logistics 模型

本文主要是介绍Logistics 模型，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1 算法介绍

logistics 方程由比利时数学家Pierre François Verhulst提出，是一个对S型曲线进行数学描述的模型。这个方程应用于一些特殊的领域建模与预测，例如单位面积内某种生物的数量、人口数量等社会经济指标、某种商品（例如手机）的普及率等。

2 原理

logistics 方程定义：

$x_t = \frac{1}{c+ae^{bt}} \tag{1}$

其中，t 表示时间变量，a，b，c 为模型的参数；当趋势比较完整时， $a > 0, b < 0, c > 0$ 。其曲线如下图：

在这里插入图片描述

根据方程和图像可知：

当 $\to -\infty，x(t) \to 1/c$ 。为研究 Logistics 曲线好的增长特性，对 Logistics 方程求一阶导数：

$\frac{dx}{dt}=\frac{-abe^{bt}}{{(c+a e^{bt})}^2} > 0$

2.1 Yule 算法

根据方程 (1)，微分写成差分式：

$\frac{x_{t+1}-x_t}{x_{t+1}}$

$\frac{x_t}{x_{t+1}}$

$\frac{c+ae^{b(t+1)}}{c+ae^{bt}}$

$\frac{(ae^{bt}+c-c)(1-e^b)}{c+ae^{bt}}$

$1-e^b)-c(1-e^b)x_t$

设 $z_t=\frac{x_{t+1}-x_t}{x_{t+1}}, \gamma=1-e^b, \beta=-c(1-e^b)$ ，那么上面的方程可以写成线性方程：

$z_t=\gamma+\beta x_t$

利用最小二乘法(OLS)可以得到这个方程参数的估计值，进而 b 和 c 的估计值也可以进一步得到。

为了得到 a 的估计值，Logistics 方程两边同时取对数：

$ln(\frac{1}{x_t}-\hat{c})=ln \hat{a}+\hat{b}t \tag{2}$

左右分别对 t 求和：

$\sum_{t=1}^{n} ln(\frac{1}{x_t}-\hat{c})=nln\hat{a}-\frac{n(n+1)}{2}\hat{b} \tag{3}$

可以很容易得到 a 的估计值:

$\hat{a}=exp \left( \frac{1}{n} \left( \sum_{t=1}^n ln(\frac{1}{x_t}-\hat{c}-\frac{n(n+1)}{2}\hat{b}) \right) \right) \tag{4}$

2.2 Rhodes 算法

根据 Logistics 方程可以得到：

$\frac{1}{x_{t+1}}$

$c + ae^{b(t+1)}$

$c-ce^b+ce^b+ae^{b(t+1)}$

$=c(1-e^b)+\frac{e^b}{x_t}$

设 $z_t=\frac{1}{x_{t+1}}、s_t=\frac{1}{x_t}、\gamma =c(1-e^b)、\beta =e^b$ ，那么该方程可以写成线性方程：

$z_t=\gamma + \beta s_t$

利用最小二乘法(OLS)可以得到这个方程参数的估计值，进而 b 和 c 的估计值也可以进一步得到。利用方程 (2)-(4) 可以得到 a 的估计值。

2.3 Nair 算法

Yule 算法的差分式结果可以进一步写成：

$\frac{x_{t+1}-x_t}{x_{t+1}}=(1-e^b)(1-cx_t)$
$\frac{1}{1-e^b}=\frac{x_{t+1}(1-cx_t)}{x_{t+1}-x_t}$
$\frac{1+e^b}{1-e^b}=\frac{2}{1-e^b}-1$
$=\frac{\frac{1}{x_t}+\frac{1}{x_{t+1}}-2c}{\frac{1}{x_t}-\frac{1}{x_{t+1}}}$

进一步整理得到;

$\frac{1}{x_t}-\frac{1}{x_{t+1}} = \frac{1-e^b}{1+e^b}(\frac{1}{x_t}+\frac{1}{x_{t+1}})-\frac{2c(1-e^b)}{1+e^b} \tag{5}$

设 $z_t=\frac{1}{x_t}-\frac{1}{x_{t+1}}、s_t=\frac{1}{x_t}+\frac{1}{x_{t+1}}、\gamma =\frac{2c(1-e^b)}{1+e^b}、\beta = \frac{1-e^b}{1+e^b}$ ，那么方程 (5) 可以写成线性方程：