本文主要是介绍mathematica-基于模式编程，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
前言
到目前为止，我们学习的编程范例都可以归类为命令式编程，程序员的工作就是一步一步地说明如何执行问题的解决方案。基于规则的编程与此完全不同。在基于规则的范例中，程序员只需写下一组规则，指定在解决问题的过程中遇到的任何表达式应该应用什么转换。程序员不需要指定执行这些规则的顺序；底层编程系统会指出这一点。（看着有点像IOC容器）。
基于规则的编程是实现数学计算的一种非常自然的方式，因为符号数学本质上是将转换规则应用到表达式(例如，微分规则，积分表)。Mathematica的多用途模式匹配能力，我们才刚刚开始探索，往往使基于规则的编程成为Mathematica程序员的选择范例。
模式
什么是模式
模式是一个Mathematica表达式，它表示整个表达式类。模式最简单的例子是一个Blank，_，它表示任何表达式。另一个例子是_f，它表示任何以f为头的表达式。我们已经在函数定义中使用了这样的模式作为形式参数。
模式本身是表达式，几乎可以为模式的任何部分提供临时名称，这允许使用规则提取和操作表达式的各个部分。这些临时名称称为模式变量。这里有三个例子：
In[2]:= (f[a]+g[b])/f[a,b]/.x_f:>x^2
Out[2]= (f[a]^2+g[b])/f[a,b]^2
In[3]:= (f[a]+g[b])/f[a,b]/.f[x_]:>x^2
Out[3]= (a^2+g[b])/f[a,b]
In[4]:= (f[a]+g[b])/f[a,b]/.f[x_,y_]:>(x+y)^2
Out[4]= (f[a]+g[b])/(a+b)^2
解构
下面演示从一个表达式中，拿出感兴趣的部分（匹配子表达式是模式非常重要的功能，能快速定位子表达式）：
In[5]:= f[a]+g[b]/.x_[_]:>x
Out[5]= f+g
In[6]:= f[a]+g[b]/.x_[_,_]:>x
Out[6]= Plus
In[7]:= f[a]+g[b]/.x_[y_]:>y[x]
Out[7]= a[f]+b[g]
实际上,解构和规则替代通常比使用MapAt更容易修改子表达式, 它几乎总是更容易一眼理解destructuring操作做什么, 而不是什么一个表达式的一部分被称为长序列的下标。惟一需要使用下标而不是结构的情况是，一个表达式包含多个具有完全相同结构的子表达式，而您只希望提取或修改其中一个子表达式。
下面把一些列的点对转换成logplot适配的形式。
基于函数编程的方法1：
data={{x1,y1},{x2,y2},{x3,y3},{x4,y4}};
In[102]:= Transpose[data]
Out[102]= {{x1,x2,x3,x4},{y1,y2,y3,y4}}
In[103]:= MapAt[Log,%,{2}]
Out[103]= {{x1,x2,x3,x4},{Log[y1],Log[y2],Log[y3],Log[y4]}}
In[104]:= Transpose[%]
Out[104]= {{x1,Log[y1]},{x2,Log[y2]},{x3,Log[y3]},{x4,Log[y4]}}
基于函数编程的方法2：
In[105]:= MapAt[Log,data,{All,2}]
Out[105]= {{x1,Log[y1]},{x2,Log[y2]},{x3,Log[y3]},{x4,Log[y4]}}
基于模式编程的方法（一次规则替换即可）：
In[106]:= data/.{x_,y_}:>{x,Log[y]}
Out[106]= {{x1,Log[y1]},{x2,Log[y2]},{x3,Log[y3]},{x4,Log[y4]}}
测试模式
有两个方法可以测试模式：MatchQ和Cases。
MatchQ
测试一个表达式是否匹配给定的模式。
In[107]:= MatchQ[a+b+c,_Plus]
Out[107]= True
Cases
测试一个表达式（不仅仅是列表，mathematica分为表达式和子表达式）中匹配模式的所有子表达式，并且能够进行规则替换，返回最终的结果。
In[109]:= Cases[{a,a+b,a+a},x_+y_]
Out[109]= {a+b}
In[110]:= Cases[{a,a+b,a+a},x_+y_:>y]
Out[110]= {b}
In[111]:= Cases[5 (a+b)^6,_Integer]
Out[111]= {5}
还能够指定层级：
In[112]:= Cases[5 (a+b)^6,_Integer, Infinity]
Out[112]= {5,6}
In[113]:= Cases[5 (a+b)^6,_Symbol, Infinity]
Out[113]= {a,b}
也能显示头部（头部也是符号）：
In[114]:= Cases[5 (a+b)^6,_Symbol, Infinity,Heads->True]
Out[114]= {Times,Power,Plus,a,b}
属性的作用
Mathematica非常善于解构。考虑下面的例子：
In[118]:= Length/@{a+b+c,x_+y_}
Out[118]= {3,2}
In[119]:= a+b+c/. x_+y_:>{x,y}
Out[119]= {a,b+c}
为什么会这样匹配呢？因为Mathematica知道Plus是一个结合运算子，比如a+b+c==a+(b+c)。这些信息被编入Plus函数的属性中：
In[120]:= Attributes[Plus]
Out[120]= {Flat,Listable,NumericFunction,OneIdentity,Orderless,Protected}
Listable表示函数可以自动作用于列表。
Flat表示函数是可结合的。
OneIdentity表示Plus[x]==x。
Orderless表示Plus是可交换的，如，Plus[a,b]==Plus[b,a]。
Protected表示不能给Plus定义新的规则，除非先Unprotect它。
In[122]:= Cases[{a+b*c,a*b+c},x_+y_*z_]
Out[122]= {a+b c,a b+c}
这种行为允许一些相当复杂的转换，并且只需要很少的工作。例如，下面的规则将展开任意因子的乘积，只要其中任何因子至少包含两个附加项：
expandrule=x_(y_+z_):>x y+x z;
In[124]:= a(b+c)(d+e+f)/.expandrule
Out[124]= a b (d+e+f)+a c (d+e+f)
In[125]:= %/.expandrule
Out[125]= a b d+a c d+a b (e+f)+a c (e+f)
In[126]:= %/.expandrule
Out[126]= a b d+a c d+a b e+a c e+a b f+a c f
先使用基于过程编程的迭代方式（注意三个等号）：
In[4]:= Module[{init=a(b+c)(d+e+f),last},While[True,last=init/. expandrule;If[last===init,Break[],init=last]];last]
Out[4]= a b d+a c d+a b e+a c e+a b f+a c f
可以使用基于函数编程的迭代方式：
In[127]:= FixedPoint[#/.expandrule&,a(b+c)(d+e+f)]
Out[127]= a b d+a c d+a b e+a c e+a b f+a c f
也可以使用基于模式编程的迭代方式：
In[128]:= a (b+c)(d+e+f)//.expandrule
Out[128]= a b d+a c d+a b e+a c e+a b f+a c f
使用模式的函数
Count：计算表达式中匹配模式的子表达式的个数。
Position：计算表达式中匹配模式的子表达式的位置。
DeleteCases：删除表达式中匹配模式的子表达式，可以指定层级。
规则和函数
在本节中，我们将看到规则和函数之间有着密切的联系。然而，在继续之前，我们需要引入一种新类型的规则。
延迟规则
正如有两种类型的赋值操作Set和SetDelayed一样，也有两种类型的规则:Rule和RuleDelayed。这两种形式的区别在于，直到模式变量被替换之后，才会对RuleDelayed的右边进行计算。可以使用语法a:> b指定延迟规则。
expr=Sqrt[u-1]/Sqrt[u^2-1];
In[20]:= expr/.u^2-1->(u-1)(u+1)
Out[20]= Sqrt[-1+u]/Sqrt[(-1+u) (1+u)]
这个规则在这个简单的情况下是适用的，但在一个更复杂的情况下，它会成为一个负担，必须提供多项式的因式形式。在这种情况下，我们可以尝试以下形式的规则。
In[22]:= expr/. 1/Sqrt[y_]->1/Sqrt[Factor[y]]
Out[22]= Sqrt[-1+u]/Sqrt[-1+u^2]
问题是，Factor[y]立即计算为普通的y，所以规则的作用是用y替换y_完全没有变化！防止在替换之前对规则的右边进行计算是这类问题的解决方案。
In[23]:= expr/. 1/Sqrt[y_]:>1/Sqrt[Factor[y]]
Out[23]= Sqrt[-1+u]/Sqrt[(-1+u) (1+u)]
函数定义是规则
当你在Mathematica中定义一个函数时，你实际上是在定义一个规则。函数f的规则可以使用DownValues[f]来显示:
In[27]:= fact[n_Integer]:=Times@@Range[n]
DownValues[fact]
Out[28]= {HoldPattern[fact[n_Integer]]:>Times@@Range[n]}
HoldPattern类似Hold，保持参数不被计算，不同于Hold的是，HoldPattern用于模式识别的忽略。
函数创建的规则和一般的规则不同的地方是，前者是全局作用的，后者只在Replace类型操作符（/.）中有效。内核匹配一个表达式到一个规则时，为替换为规则的右边。可以把内核执行表达式看成是：
expression //. (all global rules)
换句话说，全局规则持续被应用直到表达式停止改变。也正是由于这个原因Mathematica内核主执行程序被成为无限执行系统。这也解释了为什么只执行表达式到一半如此地难。
根据Roman Maeder，一个Mathematica编程语言的设计者之一，模式匹配和规则替换是Mathematica实现所有其他编程结构的底层机制。这个事实，和把所有东西都统一表示为表达式，赋予了Mathematica强大的能力和灵活性。
同一个符号的多个定义
Mathematica允许为同一个符号书写多个函数定义，来覆盖（大概）不同的情况。下面是fact的递归定义：
Clear[fact]
fact[0]=1;
fact[n_Integer]:=n*fact[n-1]
In[6]:= DownValues[fact]
Out[6]= {HoldPattern[fact[0]]:>1,HoldPattern[fact[n_Integer]]:>n fact[n-1]}
同一个函数有多个定义类似C++语言的重载，但事实上更加强大。最明显的一点，Mathematica模式可以测试不仅仅是一个参数的“类型”。
不太明显，或许更重要的是，不同的规则不必不相交（可以有交集）：注意到0是整数，但当参数是0时，规则fact[0]被使用而不是fact[_Integer]。这阐明Mathematica模式匹配引擎的一般策略：总是在更一般的规则之前尝试更具体的规则。DownValues[f]展示内核尝试作用的f的有序规则。也可以使用?sym查看一个符号所有规则的顺序。
当哪个规则更具体不明显时，Mathematica保持它们录入时的顺序。在fact例子中，内部的规则是相同的，无论哪个规则先录入，因为模式0比模式_Integer更加具体。其他的情况Mathematica可以不会总是有能力指出规则的正确顺序。这些情况，需要显示重排一个符号的DownValues。
最后，可以使用=(Set)或:=(SetDelayed)来定义fact的基本情况，因为右边是一个常数。
基于模式的函数定义的优势
把一个函数实现为一个规则的而不是一整个代码块有很多优势。
首先，基于模式函数通常比都在一个函数的定义更加快，因为大部分情况下Mathematica的模式匹配引擎执行规则集比显示条件声明（比如，If，Switch）更加快速。
其次，使用多个规则定义函数对数学家来说非常自然。比如，下面是绝对值函数的定义，在笔记本中的呈现是平行的：
absval[x_]:=x /;x>=0
absval[x_]:=-x /;x<0
再次，很多数学简单地涉及根据识别的模式重写表达式（比如，微分和积分）。手动做数学简化时，其实在脑中做模式识别。这样，基于模式编程经常产生关于数学问题的清晰，优雅的方案。本书的剩余部分将会看到关于这些的例子。
第四，从算法的角度，不需要限制我们的想法把全局规则看成函数。创建f[constant]任意定义的能力允许我们把全局规则想成一种存储知识的方式——基于规则。标准包MiscellaneousCityData和MiscellaneousChemicalElements是以这种方式考虑全局规则的极好例子。
第五，一个Mathematica函数在执行时可以增加它自己的规则，允许耗时的计算被缓存。
选择性清空定义
Clear[f]清空所有定义，从头再来。可以使用“f[patt]=.”选择性地清空一个定义。这个操作被称为Unset。
fact[n_]=.
也可以通过赋值到DownValues[f]直接修改函数地DownValues。比如：
DownValues[f]:=Drop[DownValues[f],{i}]
“纯”基于函数编程
除了把规则写成函数定义，也可以本地地使用ReplaceRepeated把规则应用到表达式，本质上模仿内核的操作。比如，这里是另外一种方法计算阶乘。注意必须按如下顺序指定规则，否则f[0]永远不会被使用。
In[21]:= f[5]//. {f[0]:>1,f[n_]:>n*f[n-1]}
Out[21]= 120
与递归相比，这个技术不构造一个大的执行栈，所以不受$RecursionLimit“安全保障”影响。
ReplaceRepeated和它地变体顺序地扫描用来模式匹配地规则列表。对于长的规则列表，Replace-类的操作可以使用Dispatch函数来为规则表生成一个dispatch table来提高速度。
这篇关于mathematica-基于模式编程的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
