另一个数学怪物——谢尔宾斯三角形

形成过程

对于一个长度为1的等边三角形$E_0$
1.连结三条边的中点，可以得到4个等边三角形，去掉中间的三角形，保留三个，可以得到$E_1$；
2.对于剩下的三个三角形重复上述的步骤，得到$E_2$，它包含9个三角形 ；
3.通过一直重复上述步骤，当$n$趋于无穷大时，便得到了谢尔宾斯三角形。

特点：不可度量

长度
$$length(E)=li{m}_{n\to \infty }3\ast (\frac{3}{2}{)}^n=\infty$$
面积
$$area(E)=li{m}_{n\to \infty }\frac{\sqrt{3}}{4}\ast (\frac{3}{4}{)}^n=0$$

程序画图

下面使用一种三角混沌的方法来生成谢尔宾斯三角形，在平面上选取不在同一直线上的三点A、B、C。并在三角形ABC内随机选取一个初始点$P_0$$(x_0，y_0)$。
第1次迭代：从$ABC$三个点中随机选取一点（等概率），取该点与点$P_0$的中点，记为$P_1$;
第$n$次迭代：从$ABC$三个点中随机选取一点（等概率），去该点与点$P_{n-1}$的中点，记为$P_n$;
经过若干次迭代后，将所有的$P_i$点都打印出来，即可得到近似的谢尔宾斯三角形。
具体的matlab代码如下：

先定义函数文件：

function sipeTriangle(time, A)
%time 迭代次数; A 原始三点，列向量表示
% time=10^5; A=[0 0.5 1; 0 1 0];
C = [0.58; 0.74];
U = zeros(2, time); K = floor(3*rand(1,time))+1;
for i=1:time for j=1:3if K(i)==jU(:, i) = (C+A(:,j))/2; break;endendC = U(:, i);
end
figure, plot(U(1,201:end),U(2,201:end),'k.');

运行：

time=10^5; A=[0 0.5 1; 0 1 0];
sipeTriangle(time, A);

运行结果