本文主要是介绍Leetcode 剑指 Offer II 061. 查找和最小的 K 对数字，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
题目难度: 中等
原题链接
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题目描述
给定两个以升序排列的整数数组 nums1 和 nums2 , 以及一个整数 k 。
定义一对值 (u,v)，其中第一个元素来自 nums1，第二个元素来自 nums2 。
请找到和最小的 k 个数对 (u1,v1), (u2,v2) … (uk,vk) 。
示例 1:
- 输入: nums1 = [1,7,11], nums2 = [2,4,6], k = 3
- 输出: [1,2],[1,4],[1,6]
- 解释: 返回序列中的前 3 对数：[1,2],[1,4],[1,6],[7,2],[7,4],[11,2],[7,6],[11,4],[11,6]
示例 2:
- 输入: nums1 = [1,1,2], nums2 = [1,2,3], k = 2
- 输出: [1,1],[1,1]
- 解释: 返回序列中的前 2 对数：[1,1],[1,1],[1,2],[2,1],[1,2],[2,2],[1,3],[1,3],[2,3]
示例 3:
- 输入: nums1 = [1,2], nums2 = [3], k = 3
- 输出: [1,3],[2,3]
- 解释: 也可能序列中所有的数对都被返回:[1,3],[2,3]
提示:
- 1 <= nums1.length, nums2.length <= 10^4
- -10^9 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^9
- nums1, nums2 均为升序排列
- 1 <= k <= 1000
题目思考
- 如何尽可能优化复杂度?
解决方案
思路
- 分析题目, 一个很容易想到的思路就是枚举所有的数字对, 然后对它们的和进行排序, 最小的 k 对即为所求
- 不过这种方法的复杂度达到了 O(n^2logn), 有没有更优的方法呢?
- 题目要求最小的 k 对数字, 这不难联想到前面的题目Leetcode 剑指 Offer II 059. 数据流中的第 K 大元素, 我们这里也可以利用类似的思路, 将排序转换成大小为 k 的最大堆, 这样遍历完所有数字对后, 堆中的 k 个数字对就是最终结果, 这样复杂度来到了 O(n^2logk), 是否还能进一步优化呢?
- 上面的思路都没有利用题目中升序排列这一条件, 由于两个数组都是升序排列, 显然下标
[0,0]的数字对就是最小的, 次小的则一定只可能是下标[0,1]或者[1,0], 这就引出了下面的思路:- 维护一个最小堆, 存储三元组[数字对之和, 第一个数组下标, 第二个数组下标], 简写为
[sm,i,j] - 初始化将下标
[0,0]对应的三元组加入堆中 - 然后开始循环, 弹出堆顶
[sm,i,j], 将对应数字对[nums[i],nums[j]]加入最终结果中, 并将紧邻它的数字对[i+1,j]和[i,j+1]各自对应的三元组加入堆中 - 特别注意, 数字对可能被重复添加, 例如堆顶
[1,2]和堆顶[2,1]同样都有紧邻数字对[2,2] - 所以我们需要额外的集合来存储已经加入堆中的数字对, 如果该数字对已经在集合中, 就不再重复添加
- 这样不断循环, 直到最终结果的长度达到 k, 或者堆变空时结束
- 维护一个最小堆, 存储三元组[数字对之和, 第一个数组下标, 第二个数组下标], 简写为
- 通过上述做法, 我们只需要循环 k 次, 而每次对堆的操作都只需要 O(logk), 从而成功将复杂度降低到了 O(klogk)
- 下面代码中有详细的注释, 方便大家理解
复杂度
- 复杂度 O(klogk): 只需要循环 k 次, 而每次对堆的操作都只需要 O(logk), 所以整体是 O(klogk)
- 空间复杂度 O(k): 堆和集合都需要存储 k 个元素
代码
class Solution:def kSmallestPairs(self, nums1: List[int], nums2: List[int], k: int) -> List[List[int]]:# 注意可能添加重复元素, 所以需要v集合if not nums1 or not nums2:# 没有符合要求的数字对return []res = []# 最小堆初始时存储[0,0]对应的三元组pq = [(nums1[0] + nums2[0], 0, 0)]# 集合初始化存储下标对(0,0)v = {(0, 0)}while len(res) < k and pq:# 弹出当前最小的数字对, 并将其追加到最终结果中_, i, j = heapq.heappop(pq)res.append([nums1[i], nums2[j]])for ii, jj in ((i + 1, j), (i, j + 1)):# 将尚未遍历的紧邻数字对加入堆和集合中if ii < len(nums1) and jj < len(nums2) and (ii, jj) not in v:v.add((ii, jj))heapq.heappush(pq, (nums1[ii] + nums2[jj], ii, jj))return res
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