【hiho一下 第四十二周】骨牌覆盖问题·二

2024-01-13 11:58

本文主要是介绍【hiho一下 第四十二周】骨牌覆盖问题·二,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

原题地址:http://hihocoder.com/contest/hiho42/problem/1
2xN的骨牌问题:http://blog.csdn.net/smile_watermelon/article/details/45151175

题目描述

上一周我们研究了2xN的骨牌问题,这一周我们不妨加大一下难度,研究一下3xN的骨牌问题?
所以我们的题目是:对于3xN的棋盘,使用1x2的骨牌去覆盖一共有多少种不同的覆盖方法呢?
首先我们可以肯定,奇数长度一定是没有办法覆盖的;对于偶数长度,比如2,4,我们有下面几种覆盖方式:【注】原题中此处图片有错误,下图是更正后的图片

3×N问题举例

输入

第1行:1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000

输出

第1行:1个整数,表示覆盖方案数 MOD 12357

样例输入

62247088

样例输出

4037


解题思路

原题中有一个解题提示,我看了以后觉得太乱了,非常不好懂,下面是我整理的我的思路。

看到这个题,我还是尝试按照动态规划的思想去找一个规律,将问题划归为其子问题,不难发现,如果要将问题划归为子问题的话,需要使得骨牌排列的整齐,如下图1的形式,而不是其他几种形式(灰色部分表示已经摆好骨牌了):

灰色部分表示已经摆好骨牌了

即,当我们已经把骨牌整齐的排练好某x长度后,剩余的n-x长度即是一个子问题。接下来,我们看有哪些摆放形式可以构成图1中的形式。

  1. 首先,我们当n=2时,我们可以很轻松的找出所有可能的构造形式,如下:
    这里写图片描述

  2. 然后我们考虑,是否还有其他形式呢?我们发现当n=4时,有如下两种未出现过的构造形式:
    这里写图片描述

  3. 接下来还有吗?还有,n=6时,有如下两种未出现过的结构:
    这里写图片描述

  4. 同理,n=8,10,12,14…时都会新添两种类似步骤2和步骤3中的新的排列方式。

我们需要注意的是,在n增大的同时,除了新增的排列方式之外,原先的排列方式也是存在的。

那么如何推导递归式呢?

我们每次只考虑当前步骤的摆法,然后减去当前步骤占用的空间,然后划归为其子问题。

对于n,我们假设解决方案数目为f(n)。考虑如下:

  • 当n为奇数时,不论如何摆放都不可能整齐得把所有位置都摆好,此时f(n)=0
  • 当n为正偶数时,如果n>=2,先考虑将其最前面的2个空间摆好,按照上文中的分析有3种摆法,然后问题可归为子问题,即有3*f(n-2)种摆法
  • 如果n>=4,再考虑将其前面的4个空间摆好(并且只按上文分析中n=4时新加的两种方式摆放骨牌),按照上文的分析有2中摆法,然后问题可归为子问题,即又有2*f(n-4)种摆法
  • 继续判断n>=6,如果成立,则考虑将其前面的6个空间摆好(并且只按上文分析中n=6时新加的两种方式摆放骨牌),按照上文的分析有2中摆法,然后问题可归为子问题,即又有2*f(n-6)种摆法
  • 以此类推,直到所有的n长度都按最特殊的摆法摆放,可以有f(n) = 3 * f(n-2) + 2 * f(n-4) + 2 * f(n-6) + … 2 * f(0)
  • 特殊的,我们有f(0)=1,即没有空间可摆放骨牌时,其整齐的解决摆放方案有1种(就是什么都不放)

至此,我们有以下递归式:

f(n) =

1,0,3f(n2)+2f(n4)+2f(n6)+...+2f(0),if n = 0if n < 0 or n is oddotherwise

有了公式之后,我们就可以编程实现了。编程实现上,看起来问题不大,然而,如果我们使用常规递归方式实现的话,问题很大。例如,题目中给出的测试数据是62247088,如果我们使用递归方法来实现代码的话,其调用过程大概如下,f(62247088)先调用f(62247086),f(62247086)中又调用f(62247084),f(62247084)中又调用f(62247082)……,这个过程中程序要不停的压栈,实在是难以想象。事实上,我一开始代码就是这么写的,程序跑了一会儿之后,我的小破本儿竟然直接黑屏重启了 : (

该如何优化代码呢?

传统的递归过程是f(n)调用f(n-1),f(n-2)…,我们何不尝试反过来求解呢?先求f(2),然后是f(4),然后是f(6),直到求出f(n)为止。

另外,我们还可以发现如下规律:

  • f(n) = 3 * f(n-2) + 2 * f(n-4) + … + 2 * f(0)
  • f(n+2) = 3 * f(n) + 2 * f(n-2) + 2 * f(n-4) + … + 2 * f(0)
  • f(n+4) = 3 * f(n+2) + 2 * f(n) + 2 * f(n-2) + 2 * f(n-4) + … + 2 * f(0)

因此我们可以利用在计算f(n)时的数据来计算f(n+2),f(n+4)…这样我们优雅的解决了两个问题:第一,不用递归调用函数来求解子问题;第二,不用开辟一个O(n)的空间来存储子问题的值。

最后,不要忘记对结果取模(MOD 12357)

代码

#include <stdio.h>int main() {int n;scanf("%d", &n);        // 输入数据if (n & 1 || n < 0) {   // 如果是奇数或者负数,输出0printf("0\n");} else if (n == 0) {      // 如果是0,输出1printf("1\n");} else {// sum存储f(i),last存储f(i-2),lastSum存储2*(f(i-4)+f(i-6)+...+f(0))// 初始化值i=2,last=f(i-2)=f(0)=1,lastSum=0int i = 2, sum, last = 1, lastSum = 0;// 循环计算f(i),直到f(n)for (; i <= n; i += 2) {// 计算f(i),f(i)=3*f(i-2)+2*(f(i-4)+f(i-6)+...+f(0))sum = 3 * last + lastSum;   sum %= 12357;       // 取模// 更新lastSum,即2*f(i-2)+2*(f(i-4)+f(i-6)+...+f(0))lastSum += 2 * last;    lastSum %= 12357;   // 取模// 更新last,即last=f(i),以备计算f(i+2)时使用last = sum;}printf("%d\n", sum);    // 输出}return 0;
}

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// sfg1991@163.com
// 2015-04-20

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