信息学奥赛第九节 —— 贪心算法(需要安排几位师傅加工零件 + 排队打水问题)

本文主要是介绍信息学奥赛第九节 —— 贪心算法(需要安排几位师傅加工零件 + 排队打水问题)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

贪心算法的特点

对于问题求解时，总是做出在当前来看是最好的选择的策略，即贪心算法不从整体来考虑问题。贪心算法与排序、高精度、背包等算法不同，没有一个特定的模板来表达贪心算法的过程。

贪心的步骤

抽象出题目的数学模型
把需要解决的问题分解为许多个小问题
选择一个策略，这个策略对于解决所有的小问题一定是通用的
证明所选择的策略一定适用于所有的情况
把子问题的解合并，就得到了全局的最优解

贪心的证明

反证法
数学归纳法
决策的包容性
范围的缩放
邻项交换法

贪心的入门模型

在这里插入图片描述
如图所示，在上图中，最外面的方框是一个大集合，其中包含了许多个小集合。每个小集合里面又包含了许多个数字。现要在每个集合中选一个数，使得这些数的和最大。应该如何解决？如果使用贪心算法，那么一定选择每个集合中最大的那个数，再将这些数相加，最后得到的一定是最大的结果。
反证法证明策略的正确性：假设从集合1、2、3、4、5中选择最大的数，但是在对集合6进行操作时，只选择集合6中第二大(或者第三大)的那个数，此时所有被选择的数之和为sum1，那么集合6中一定存在一个数，使得选择它之后，所有数的和更新为sum2且sum2 > sum1。从而证明策略的正确性。

贪心例题1 原题链接

题目描述

某工厂有n个零件加工的师傅，每位师傅每天能够加工出不同数量的零件。现有m个零件要求一天加工完，请问该工厂最少需要派几个师傅来完成这次零件加工任务，如果安排所有的师傅都参与加工也不能在一天内完成任务，请输出“NO”

输入

第一行有两个整数，用空格隔开；第一个整数代表要加工的总零件个数m（m<=10 ^ 6），第二个整数代表工厂的零件加工师傅的数量n（n<=100）。第二行有n个整数，分别代表每个师傅每天能够加工出来的零件数量（每个师傅每天加工的零件数量<=10 ^ 4）

输出

工厂在1天时间内加工所有零件需要的师傅数量或者输出NO

样例输入

10 5
1 3 2 4 2

样例输出

4

解题思路：本题是经典的贪心模型。我们要求最少的加工师傅的人数，由于零件总数是固定的，每个师傅每天加工的零件个数也是固定的，故需要采取先让加工零件多的师傅来加工的策略。将每个师傅每天可以加工的零件数量按照从大到小排序，再依次相加。在相加的时候需要标记当前使用了几个师傅，如果加工的零件数量之和大于m，则输出第几个师傅即可。如果直到最后都未能成功加工完m个零件，那么输出"NO"。
AC代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;
const int N = 110;
int a[N];//a[i]:第i个师傅每天可以加工的零件数量//将每个师傅每天可以加工的零件数量按照从大到小排序
bool cmp(int a,int b) { return a >= b; }int main()
{int m,n; cin >> m >> n;for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];sort(a + 1,a + n + 1,cmp);int sum = 0,flag = -1;//flag用来标记当前使用了几个师傅for (flag = 1;flag <= n;flag++){sum += a[flag];if (sum >= m){cout << flag << endl;return 0;}}//所有师傅每天加工的零件数之和小于mint cnt = 0;for (int i = 1;i <= n;i++) cnt += a[i];if (cnt < m) cout << "NO" << endl;return 0;
}

贪心例题2 原题链接

题目描述

有n个人排队到r个水龙头去打水，他们装满水桶的时间t1,t2,…,tn为整数且各不相等，应如何安排他们的打水顺序才能使他们花费的总时间最少？每个人打水的时间 = 排队的时间 + 实际打水的时间，本题假设一个人打好水，排在他后面的人接着打水的这个切换过程不消耗时间。比如，有2个人A和B，他们打水的时间分别是3和2，只有1个水龙头，这时，如果A先打水，B后打水，那么A和B打水的时间分别为3、3+2（B排队3分钟）。因此，所有人打水的总时间就是每个人的打水时间及每个人的排队时间的总和。

输入

第1行，两个整数n(1<=n<=500)和r(1<=r<=100)。
第2行，n个正整数t1,t2,…,tn，(1<=ti<=1000)表示每个人装满水桶的时间。

输出

1行，一个正整数，表示他们花费的最少总时间。

样例输入

4 2
2 6 4 5

样例输出

23

解题思路：AC本题的要点在于选取正确的贪心策略。

贪心策略1：时间较短的人去水龙头1排队(需要2+6+5+11=24分钟)
贪心策略2：打水时间较长的人先打水(需要5+7+6+10=28分钟)
贪心策略3：打水时间较短的人先打水(需要2+7+4+10=23分钟)

通过分析可以得到第三种策略为正确的贪心策略。即打水快的人先打，总的打水时间才可能比较短。如果打水慢的人先去打水，那么对于在其后排队的人，需要等待的时间会变长。
如果水龙头的个数很多，该如何解决问题？
假设现在有六个水龙头，即r = 6。不难发现，前r个人是不需要排队的，从第r + 1个人开始需要排队等待。

第i个人的接水时间 = 第i个人自己的接水时间 + 前一个人的接水时间(等待时间)。通过上图，可以得到

a[7] = a[7] + a[1];
a[8] = a[8] + a[2];
a[9] = a[9] + a[3];
a[10] = a[10] + a[4];
a[11] = a[11] + a[5];
a[12] = a[12] + a[6];

总结出规律:a[i] = a[i] + a[i - r]
AC代码:

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N];//a[i]:第i个人打水需要的时间int main()
{int n,r; cin >> n >> r;//r表示水龙头的个数for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];//输入每个人的打水时间sort(a + 1,a + 1 + n);//从小到大排序//前r个人不需要排队,可以每人使用一个水龙头for (int i = r + 1;i <= n;i++) a[i] += a[i - r];int sum = 0;for (int i = 1;i <= n;i++) sum += a[i];cout << sum << endl;return 0;
}

当然，可以修剪一下代码，修建之后AC代码如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N];//a[i]:第i个人打水需要的时间int main()
{int n,r;  cin >> n >> r;//r表示水龙头的个数for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];//输入每个人的打水时间sort(a + 1,a + 1 + n);//从小到大排序int sum = 0;for (int i = 1;i <= n;i++) {if (i >= r + 1) a[i] += a[i - r];//前r个人不需要排队,可以每人使用一个水龙头sum += a[i];}cout << sum << endl;return 0;
}