本文主要是介绍《高等统计物理学》2：经典系综，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
知乎链接：《高等统计物理学》2：经典系综
对系综思想的理解，读者们有兴趣可以参见我之前写的 《高等统计物理学》1: 领悟系综
一. 从概率论视角推导正则系综和巨正则系综的概率表达式和熵公式
第一节课老师就带着我们肝概率论和随机过程，对于本科不是物理科班出生的笔者而言，一开始不用被深奥难懂的物理背景虐得死去活来，还算是松了一口气。下面我们就来看一看，概率论和随机过程的知识是如何在统计物理中发挥作用的。
最先笔者还觉得，万物皆物理…，我大物理就是厉害，shannon大神当初信息熵的灵感肯定也来源于统计物理。到后来才发现，统计物理中的一些熵，是可以从大神的信息熵推导来的！（待解决问题 1:信息熵是否还可以由统计物理的熵推导过去呢？）
1. 热力学模型推导正则系综和巨正则系综的概率表达式
首先，让我们来简单回顾一下
1.1 正则系综的概率表达式：
ρ s = 1 Z e − β E s \rho_s=\frac{1}{Z}e^{-\beta E_s} ρs=Z1e−βEs（无简并的量子统计表达式）
ρ l = 1 Z Ω l e − β E l \rho_l=\frac{1}{Z}\Omega_le^{-\beta E_l} ρl=Z1Ωle−βEl （有简并的量子统计表达式）
ρ ( p , q ) d Ω = 1 Z e − β H ( p , q ) d Ω N ! h N r \rho_{(p,q)}d\Omega=\frac{1}{Z}e^{-\beta H(p,q)}\frac{d\Omega}{N!h^{Nr}} ρ(p,q)dΩ=Z1e−βH(p,q)N!hNrdΩ（经典统计表达式）
1.2 巨正则系综的概率表达式：
ρ N s = 1 Ξ e − α N − β E s \rho_{Ns}=\frac{1}{\Xi}e^{-\alpha N-\beta E_s} ρNs=Ξ1e−αN−βEs （无简并的量子统计表达式）
ρ N s = 1 Ξ Ω l e − α N − β E l \rho_{Ns}=\frac{1}{\Xi}\Omega_le^{-\alpha N-\beta E_l} ρNs=Ξ1Ωle−αN−βEl（有简并的量子统计表达式）
ρ N ( p , q ) d Ω = 1 Ξ e − α N − β H ( p , q ) d Ω N ! h N r \rho_{N(p,q)}d\Omega=\frac{1}{\Xi}e^{-\alpha N-\beta H(p,q)}\frac{d\Omega}{N!h^{Nr}} ρN(p,q)dΩ=Ξ1e−αN−βH(p,q)N!hNrdΩ（经典统计表达式）
下面我会给出它们的推导过程，如果你已对此很熟悉，可以直接跳过下面这一部分。（但我觉得你至少得很清楚：公式中各字母的含义以及公式的推导思想和过程。反正笔者还不太熟悉，赶紧拿起笔又推导了一边哈哈啊哈）
第一步，建模（如下图）
图1 是微正则系综中的一个系统（孤立系统，V,E,N不变），图2 是正则系综中的一个系统（热源+状态处于s的系统=孤立系统，V,T,N不变），图3 是巨正则系综中的一个系统（热源+粒子源+状态处于s的系统=孤立系统）
第二步，弄清楚上述公式中 β ， α ， γ \beta，\alpha，\gamma β，α，γ 的含义及由来（虽然这里没有 γ \gamma γ ）
我们先给定： β = ∂ ln Ω ∂ E , α = ∂ ln Ω ∂ N , γ = ∂ ln Ω ∂ V \beta=\frac{\partial\ln \Omega}{\partial E}, \alpha=\frac{\partial \ln\Omega}{\partial N}, \gamma=\frac{\partial \ln\Omega}{\partial V} β=∂E∂lnΩ,α=∂N∂lnΩ,γ=∂V∂lnΩ 要推导它们，我们从微正则系综下手（从微正则系综出发推导出它们的表达式，将用在后面的正则系综和巨正则系综的公式中）。
如图1所示，系统被分成A1和A2两部分，考虑这样一种情况：它们的粒子数N1和N2，以及它们的体积V1和V2都恒等，而能量E1和E2却未知。对于孤立系统和两个子系统A1、A2而言，它们的微观状态数应该有如下关系：
Ω ( E 1 , E 2 ) = Ω 1 ( E 1 ) Ω 1 ( E 2 ) = Ω 1 ( E 1 ) Ω 2 ( E − E 1 ) ( e q . 1 ) \Omega(E_1,E_2)=\Omega_1(E_1)\Omega_1(E_2)=\Omega_1(E_1)\Omega_2(E-E_1)\qquad (eq.1) Ω(E1,E2)=Ω1(E1)Ω1(E2)=Ω1(E1)Ω2(E−E1)(eq.1)
由此可见， 孤立系统的微观状态数 Ω \Omega Ω 取决于总能量在A1和A2之间的分配情况， Ω \Omega Ω 取极大值，意味着相应的E1和E2是一种最概然的能量分配（待解决问题 2:为什么呢？）。可以认为最概然微观状态数对应的E1和E2就是A1和A2达到热平衡时的内能。由(eq.1)，我们可以将 Ω \Omega Ω 看作仅关于E1的函数，于是平衡时有 :
∂ Ω ( E 1 ) ∂ E 1 = 0 ⇒ ∂ ln Ω ( E 1 ) ∂ E 1 = ∂ ln [ Ω 1 ( E 1 ) Ω 2 ( E 2 ) ] ∂ E 1 = ∂ ln Ω 1 ( E 1 ) ∂ E 1 + ∂ ln Ω 2 ( E 2 ) ∂ E 1 = ∂ ln Ω 1 ( E 1 ) ∂ E 1 + ∂ ln Ω 2 ( E 2 ) ∂ E − E 2 = ∂ ln Ω 1 ( E 1 ) ∂ E 1 − ∂ ln Ω 2 ( E 2 ) ∂ E 2 = 0 \begin{aligned} \frac{\partial \Omega(E_1)}{\partial E_1}=0&\Rightarrow\frac{\partial \ln \Omega(E_1)}{\partial E_1}=\frac{\partial \ln[\Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2)]}{\partial E_1}\\&=\frac{\partial \ln \Omega_1(E_1)}{\partial E_1}+\frac{\partial \ln \Omega_2(E_2)}{\partial E_1}=\frac{\partial \ln \Omega_1(E_1)}{\partial E_1}+\frac{\partial \ln \Omega_2(E_2)}{\partial E-E_2}\\&=\frac{\partial \ln \Omega_1(E_1)}{\partial E_1}-\frac{\partial \ln \Omega_2(E_2)}{\partial E_2}=0\end{aligned} ∂E1∂Ω(E1)=0⇒∂E1∂lnΩ(E1)=∂E1∂ln[Ω1(E1)Ω2(E2)]=∂E1∂lnΩ1(E1)+∂E1∂lnΩ2(E2)=∂E1∂lnΩ1(E1)+∂E−E2∂lnΩ2(E2)=∂E1∂lnΩ1(E1)−∂E2∂lnΩ2(E2)=0即两个系统达到热平衡时， ∂ ln Ω 1 ( E 1 ) ∂ E 1 = ∂ ln Ω 2 ( E 2 ) ∂ E 2 \frac{\partial \ln \Omega_1(E_1)}{\partial E_1}=\frac{\partial \ln \Omega_2(E_2)}{\partial E_2} ∂E1∂lnΩ1(E1)=∂E2∂lnΩ2(E2) ，由此我们令 β = ∂ ln Ω ∂ E \beta=\frac{\partial \ln\Omega}{\partial E} β=∂E∂lnΩ 。同理，在E1和E2,V1和V2恒等，N1和N2不确定的情况下，我们可以得到热平衡时 α = ∂ ln Ω ∂ N \alpha=\frac{\partial\ln \Omega}{\partial N} α=∂N∂lnΩ ；在E1和E2,N1和N2恒等，V1和V2不确定的情况下，我们可以得到 热平衡时 γ = ∂ ln Ω ∂ V \gamma=\frac{\partial\ln \Omega}{\partial V} γ=∂V
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