快乐地打牢基础（4）——树状数组

本文主要是介绍快乐地打牢基础（4）——树状数组，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

在解题的过程中，我们想维护一个数组的前缀和s[i] = A[1] + A[2] +…+A[i]。我们改变任意一个A[i],那么S[i]之后都会发生变化，朴素写法调整前缀和S最坏的情况需要O(n)的时间。所以引入树状数组，它的修改和求和都是O(logn)的，效率非常高。

一、基本思想

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根据任意正整数关于2的不重复次幂的唯一分解性质，若一个正整数x的二进制表示为10101，其中等于1 的位置是0，2，4，那么正整数x可以被“二进制分解”成2 ^ 4 + 2 ^ 2 + 2^0。区间[1,x]可以被分成O(logx)个小区间。
长度为2 ^ 4的小区间[1,2 ^ 4]。
长度为2 ^ 2的小区间[2 ^ 4+1,2 ^ 4+2 ^ 2]。
长度为2 ^ 0的小区间[2 ^ 4+2 ^ 2 + 2,2 ^ 4+2 ^ 2 + 2 ^ 0]。

对于给定序列A，我们建立一个数组从，其中c[x]保存序列A的区间[x-lowbit(x)+1,x]中所有的和。
形成下图的树形结构：

从图中可以得到C[]和A[]关系：C[i]=A[i-2^ k+1]+A[i-2^k+2]+…A[i]; （k为i的二进制中末尾0的数量）
该结构满足一下的性质：

• 1.每个内部结点C[x]保存以它为根的子树中所有叶结点的和。
• 2.每个内部结点C[x]的子节点个数等于lowbit(x)的位数。
• 3.除树根外，每个内部节点C[x]的父结点是C[x + lowbit(x)].
• 4.树的深度为O（logN）。

二、算法操作

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由于之前已经整理过树状数组原理的博客：https://blog.csdn.net/sinat_40872274/article/details/97895705
所以直接给出重要操作。
例如i=8时，k=3;

1.求lowbit（x）

lowbit（x）表示取出x的最低位1 换言之 lowbit(x)=2^k （ k为k为x的二进制中末尾0的数量）。
lowbit(x) = x&(-x)是怎么来的呢？具体分析一下

设x > 0,x的第k位上是最低位的1，后边还有若干个0。
先把x取反，此时第k位变成0，第0~到k-1位都是1。
再令x = x +1,此时因为进位，第k位变成1，第0~k-1位都是0.在上面的取反加1的 操作后，x的第k+1位到最高位因为取反，所以是与原来相反的，这样一来x&（ ~ x+1）运算过后就只有第k位上是1了。而补码 ~x = -x-1 ,因此lowbit（x） = x&（-x）。
代码：

int lowbit(int x){return x&-x;
}

2.对某个元素进行加法操作

树状数组支持单点增加，意思是给序列中的某个数A[x]加上y，同时正确维护序列的前缀和，根据上面给出的树形结构和它的性质，只有结点C[x]及其所有祖先你结点保存的“区间和”包含结点A[x]，而任意一个结点的祖先至多只有logN个，所以逐一对包含A[x]的C[]值进行更新就可以了,这样可以在O(logN)时间内执行单点增加操作。
那么我们的现在就是要解决如和找到A[x]的祖先结点。这就要回顾这个树形结构的第三点性质了。

• 3.除树根外，每个内部节点C[x]的父结点是C[x + lowbit(x)]。

代码：

void update(int x,int y){for(;x<= N; x += lowbit(x)) c[x] += y;return ans;
}

3.查询前缀和

树状数组支持查询前缀和，即序列A第1~x个数的和。按照我们刚才提出的方法，应该求出x的二进制表示中每个等于1的位，把[1,x]分成O（logN）个小区间，而每个小区间的和都已经存在数组C[]中了，所以直接求代表每个小区间的C[]的和就行了。

int sum(int x){int ans = 0;for(; x; x -= lowbit(x)) ans += c[x];return ans;//可以发现求前缀和与加法操作 是两个逆序的过程
}

4.统计A[x]…A[y]的值

前缀和思想：sum(y) - sum(x-1)

5.多维树状数组

将一维的树状数组变成m维的，那么时间复杂度就是O((logN)^m)，在m不大的时候，还是可以接受的。扩充的方法就是将原来的修改和查询函数中的一个循环，改成m个循环m维数组c中的操作。下面以n*m的二维数组a，树状数组c为例，给出单点增加和求和操作的代码。

//单点增加
void update(int x,int y ,int z){//将（x,y）的值加上zint i = x;while(i <= n){int j = y;while(j <= m

这篇关于快乐地打牢基础（4）——树状数组的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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