Sommerfeld radiation condition

本文主要是介绍Sommerfeld radiation condition，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld (1868–1951)

复习

curl 一个向量场的Curl 描述了一个三维的向量场 $F$ 的无穷小旋转（infinitesimal rotation），有时也用 $\nabla \times F,rot F$ 来表示。直观上，如果向量场表示流体的速度，那么 $curl F$ 描述的就是循环密度（circulation density of the fluid）, $curl F=0$ 的场被称为无旋的。分析上的定义 $(\nabla \times F) \cdot n^: = lim A \to 0 1 | A | \oint \partial A F \cdot d r$ $(\nabla \times F)\cdot \hat{n}:=\lim_{A\to 0}{\frac{1}{|A|}\oint_{\partial A}F\cdot dr}$ 直观上，举个简单例子:取 $\displaystyle F=y\hat{x}-x\hat{y}$ ，它的旋只有 $\hat{z}$ 方向有分量，可以轻易算出来 $\displaystyle \frac{2\pi r^2}{\pi r^2}=2$ ,直观上就是单位面积上的动量。在笛卡尔坐标系下，设 $\displaystyle F=[F_x,F_y,F_z]$ 则
$\nabla \times F = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i^\partial x F x j^\partial y F y k^\partial z F z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣$ $\nabla \times F=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}$ 在一般坐标下面 $(\nabla \times F) k = ε k l m \nabla l F m$ $\displaystyle (\nabla \times F)^k=\varepsilon^{klm}\nabla_l F_m$ 其中， $\displaystyle \varepsilon$ 是Levi-Civita tensor, $\nabla$ 是协变导数。
常见计算关系 $\nabla \times (v \times F) = (\nabla \cdot F + f \cdot F) v - (\nabla \cdot v + v \cdot \nabla) F (K1)$ $\nabla \times (v \times F)=(\nabla \cdot F+f \cdot F)v-(\nabla \cdot v +v\cdot \nabla)F \tag{K1}$ $\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla (\nabla \cdot F) - \nabla 2 F (K2)$ $\nabla \times (\nabla \times F)=\nabla(\nabla \cdot F)-\nabla^2 F\tag{K2}$ $\nabla \times (\nabla φ) = 0 (K3)$ $\nabla \times(\nabla \varphi)=0 \tag{K3}$ $\nabla \times (φ F) = \nabla φ \times F + φ \nabla \times F (K4)$ $\nabla \times (\varphi F)=\nabla \varphi \times F+ \varphi \nabla \times F\tag{K4}$

辐射条件定义

Helmholtz方程
$(\nabla 2 + k 2) u = - f i n R n (1)$ $(\nabla^2+k^2)u=-f \ \ in\ \mathbb{R^n}\tag{1}$ 其中 $n=2,3$ 代表空间的维数; $f$ 是具有紧致支集的函数，代表有界能量源; $k>0$ 是常数，称为波数。
S