扩展欧几里得(poj 2115 poj 1061)

2023-12-27 02:58

本文主要是介绍扩展欧几里得(poj 2115 poj 1061),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

欧几里德与扩展欧几里德算法

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一种证明:

      a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

  假设d是a,b的一个公约数,则有

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  因此d是(b,a mod b)的公约数

  假设d 是(b,a mod b)的公约数,则

  d | b , d |r ,但是a = kb +r

  因此d也是(a,b)的公约数

  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

 

第二种证明:

    要证欧几里德算法成立,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思,r=a mod b
    下面证 gcd(a,b)=gcd(b,r)
    设  c是a,b的最大公约数,即c=gcd(a,b),则有 a=mc,b=nc,其中m,n为正整数,且m,n互为质数
    由 r= a mod b可知,r= a- qb 其中,q是正整数,
    则 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
    b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互质(假设n,m-qn不互质,则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数,且d>1
                                                                则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc,与前提矛盾,
                                                                 所以n ,m-qn一定互质)
    则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
    得证。

 

算法的实现:

最简单的方法就是应用递归算法,代码如下:

View Code

代码可优化如下:

View Code

当然你也可以用迭代形式:

View Code

 

扩展欧几里德算法

基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

证明:设 a>b。

  1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

  2,ab!=0 时

  设 ax1+by1=gcd(a,b);

  bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

  根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

  即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

  根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

   上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。

 

扩展欧几里德的递归代码:

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{if(!b) {d=a;x=1;y=0;}else{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}


 扩展欧几里德非递归代码:

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{int x1,y1,x0,y0;x0=1; y0=0;x1=0; y1=1;x=0; y=1;int r=m%n;int q=(m-r)/n;while(r){x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;x0=x1; y0=y1;x1=x; y1=y;m=n; n=r; r=m%n;q=(m-r)/n;}return n;
}

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面:

(1)求解不定方程;

(2)求解模线性方程(线性同余方程);

(3)求解模的逆元;

 

(1)使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法:

  对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
  上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后,p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足:
  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解,只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后,应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b)),

  p * a+q * b = c的其他整数解满足:

p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。


下面是例题POj1061 青蛙 

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;void gcd ( __int64 a , __int64 b , __int64 &d , __int64 &x , __int64 &y )
{if ( ! b ) d = a , x = 1 , y = 0 ;else gcd ( b , a%b , d , y , x ) , y -= x * ( a / b ) ; 
}int main()
{__int64 s , t , m , n , l ;while ( ~ scanf ("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d" , & s , & t , & m , & n , & l ) ){__int64 a , b , d , ans ;__int64 x , y ;a = l ;b = m - n ;ans = t - s ;if ( b < 0 )b = n - m , ans = s - t ;gcd ( a , b , d , x , y ) ;if ( ans % d )//无解出现的情况printf("Impossible\n") ;else{__int64 tmp = l / d ;        ans = (  ans / d * y ) % tmp ;//求出答案,因答案要求最小,故还得对答案的“周期”取余if ( ans < 0 )//如果出现的是负数,就要加上周期ans += tmp ;printf ("%I64d\n",ans);}}return 0;
}


点击打开链接

ds

同样的poj2115

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<bitset>
#include<map>
#include<vector>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
#define max(a,b) (a) > (b) ? (a) : (b)
#define min(a,b) (a) < (b) ? (a) : (b)
#define ll long long
#define eps 1e-10
#define MOD 1000000007
#define N 1000000
#define inf 1e12
void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{if(!b){d=a;x=1;y=0;}else{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
int main()
{ll a,b,c,k,p,q;while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&q,&a,&b,&k)==4){if(a==0 && b==0 && c==0 && k==0){break;}ll x,y,r;ll d;gcd(a,b,d,x,y);//printf("---%I64d %I64d %I64d\n",d,x,y);if((b-a)%d!=0){printf("FOREVER\n");}else{x=(b-a)/d*x;x=x%(bb/d);if(x<0)x+=(bb/d);printf("%lld\n",x);}}return 0;
}

之前一直wa  wa在了1<<k;时1应该要加(ll)强转换


今晚上高神不在,今下午高神在,我没敢来,晚上班长组织看电影不得不去喽~  饿死了外卖快点到

这篇关于扩展欧几里得(poj 2115 poj 1061)的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



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