图的最短路径(迪杰斯特拉和Floyd)

2023-12-21 04:18
文章标签 路径 floyd 斯特拉 迪杰

本文主要是介绍图的最短路径(迪杰斯特拉和Floyd),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; background-color: rgb(255, 255, 255);">Dijkstra算法</span>

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

 

2.算法描述

1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤:

a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];int A[MAXUNM][MAXNUM];void Dijkstra(int v0)
{bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中int n=MAXNUM;for(int i=1; i<=n; ++i){dist[i] = A[v0][i];S[i] = false;                                // 初始都未用过该点if(dist[i] == MAXINT)    prev[i] = -1;else prev[i] = v0;}dist[v0] = 0;S[v0] = true;   for(int i=2; i<=n; i++){int mindist = MAXINT;int u = v0;                               // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n; ++j)if((!S[j]) && dist[j]<mindist){u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 mindist = dist[j];}S[u] = true; for(int j=1; j<=n; j++)if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT){if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径  {dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist prev[j] = u;                    //记录前驱顶点 }}}
}

.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

 

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3),空间复杂度为O(N2)。

 

2.算法描述

1)算法思想原理:

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释(这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在)

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述:

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。   

b.对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

typedef struct          
{        char vertex[VertexNum];                                //顶点表         int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
}MGraph; void Floyd(MGraph g)
{int A[MAXV][MAXV];int path[MAXV][MAXV];int i,j,k,n=g.n;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){   A[i][j]=g.edges[i][j];path[i][j]=-1;}for(k=0;k<n;k++){ for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])){A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];path[i][j]=k;} } 
}




这篇关于图的最短路径(迪杰斯特拉和Floyd)的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/518608

相关文章

Linux修改pip和conda缓存路径的几种方法

《Linux修改pip和conda缓存路径的几种方法》在Python生态中,pip和conda是两种常见的软件包管理工具,它们在安装、更新和卸载软件包时都会使用缓存来提高效率,适当地修改它们的缓存路径... 目录一、pip 和 conda 的缓存机制1. pip 的缓存机制默认缓存路径2. conda 的缓

Windows系统下如何查找JDK的安装路径

《Windows系统下如何查找JDK的安装路径》:本文主要介绍Windows系统下如何查找JDK的安装路径,文中介绍了三种方法,分别是通过命令行检查、使用verbose选项查找jre目录、以及查看... 目录一、确认是否安装了JDK二、查找路径三、另外一种方式如果很久之前安装了JDK,或者在别人的电脑上,想

Python中Windows和macOS文件路径格式不一致的解决方法

《Python中Windows和macOS文件路径格式不一致的解决方法》在Python中,Windows和macOS的文件路径字符串格式不一致主要体现在路径分隔符上,这种差异可能导致跨平台代码在处理文... 目录方法 1:使用 os.path 模块方法 2:使用 pathlib 模块(推荐)方法 3:统一使

一文教你解决Python不支持中文路径的问题

《一文教你解决Python不支持中文路径的问题》Python是一种广泛使用的高级编程语言,然而在处理包含中文字符的文件路径时,Python有时会表现出一些不友好的行为,下面小编就来为大家介绍一下具体的... 目录问题背景解决方案1. 设置正确的文件编码2. 使用pathlib模块3. 转换路径为Unicod

MySQL9.0默认路径安装下重置root密码

《MySQL9.0默认路径安装下重置root密码》本文主要介绍了MySQL9.0默认路径安装下重置root密码,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值,需要的朋友们... 目录问题描述环境描述解决方法正常模式下修改密码报错原因问题描述mysqlChina编程采用默认安装路径,

python获取当前文件和目录路径的方法详解

《python获取当前文件和目录路径的方法详解》:本文主要介绍Python中获取当前文件路径和目录的方法,包括使用__file__关键字、os.path.abspath、os.path.realp... 目录1、获取当前文件路径2、获取当前文件所在目录3、os.path.abspath和os.path.re

hdu2544(单源最短路径)

模板题: //题意:求1到n的最短路径,模板题#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<stack>#include<queue>#include<set>#include<map>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<ctype.h>#i

uva 10099(floyd变式)

题意: 有一个导游要带着一群旅客从一个城市到达另一个城市,每个城市之间有最大的旅客流量限制。 问最少几趟能将这些旅客从一个城市搞到另一个城市。 解析: 用floyd找出最小流量中的最大边,然后次数就是   ceil(总人数 / 最大承载量 - 1),-1的意思是导游每次也要在车上。 ps.老司机哭晕在厕所 代码: #include <iostream>#includ

uva 10048(floyd变式)

题意: 求两个点之间经过的路径中最大噪声最小的值。 解析: floyd的变式,每次取g[i][k] g[k][j]中的大边与当前边g[i][j]比较,取小。 代码: #include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#includ

poj 1734 (floyd求最小环并打印路径)

题意: 求图中的一个最小环,并打印路径。 解析: ans 保存最小环长度。 一直wa,最后终于找到原因,inf开太大爆掉了。。。 虽然0x3f3f3f3f用memset好用,但是还是有局限性。 代码: #include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#incl