S-T平面图中利用最短路求最小割（BZOJ 1001)

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1001

现在小朋友们最喜欢的"喜羊羊与灰太狼",话说灰太狼抓羊不到，但抓兔子还是比较在行的，而且现在的兔子还比较笨，它们只有两个窝，现在你做为狼王，面对下面这样一个网格的地形：

左上角点为(1,1),右下角点为(N,M)(上图中N=4,M=5).有以下三种类型的道路 1:(x,y)<==>(x+1,y) 2:(x,y)<==>(x,y+1) 3:(x,y)<==>(x+1,y+1) 道路上的权值表示这条路上最多能够通过的兔子数，道路是无向的. 左上角和右下角为兔子的两个窝，开始时所有的兔子都聚集在左上角(1,1)的窝里，现在它们要跑到右下解(N,M)的窝中去，狼王开始伏击这些兔子.当然为了保险起见，如果一条道路上最多通过的兔子数为K，狼王需要安排同样数量的K只狼，才能完全封锁这条道路，你需要帮助狼王安排一个伏击方案，使得在将兔子一网打尽的前提下，参与的狼的数量要最小。因为狼还要去找喜羊羊麻烦.

Input

第一行为N,M.表示网格的大小，N,M均小于等于1000.接下来分三部分第一部分共N行，每行M-1个数，表示横向道路的权值. 第二部分共N-1行，每行M个数，表示纵向道路的权值. 第三部分共N-1行，每行M-1个数，表示斜向道路的权值. 输入文件保证不超过10M

Output

输出一个整数，表示参与伏击的狼的最小数量.

 

算法分析：咋一看，艾玛，最小割的水题，dinic()果断敲上A啊，想想时间复杂度不对啊，n和m都是1000的，O(n^2m)要跪的。上网看了别人的博客，学习到了s-t平面图的最小割的解法，把原图中的面看作点，起点和终点都等同于最外面的那一个面，原图中一条边权值为w，新图中就等同于此边在平面图中分割开的两个面（即新图中两个点）连一条边，权值为w。建模完成后，新图中的起点和终点的一条路径就穿插过原图的一些边，即一条路径等于原图中的一个割，所以最小割就等于新图的最短路径长度。确实很厉害。

推荐文章：《浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用》--周冬

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
const int maxn=2000000+10;
const int M = maxn*3+10;

int n,m,nn,mm;
int from,to;
struct Edge
{
    int v,flow;
    int next;
}edge[M];
int head[maxn],edgenum;

void add(int u,int v,int flow)
{
    edge[edgenum].v=v ;edge[edgenum].flow=flow ;
    edge[edgenum].next=head[u] ;head[u]=edgenum++ ;

    edge[edgenum].v=u ;edge[edgenum].flow=flow ;
    edge[edgenum].next=head[v] ;head[v]=edgenum++ ;
}

struct node
{
    int v,w;
    friend bool operator < (node a,node b)
    {
        return a.w > b.w;
    }
}cur,tail;
int d[maxn],vis[maxn];
void Dijkstra(int from,int to)
{
    for (int i=0 ;i<maxn ;i++) d[i]=inf;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    d[from]=0;
    priority_queue<node> Q;
    cur.v=from ;cur.w=0 ;
    Q.push(cur);
    while (!Q.empty())
    {
        cur=Q.top() ;Q.pop() ;
        int x=cur.v;
        if (vis[x]) continue;
        vis[x]=1;
        for (int i=head[x] ;i!=-1 ;i=edge[i].next)
        {
            if (d[edge[i].v ]>d[x]+edge[i].flow)
            {
                d[edge[i].v ]=d[x]+edge[i].flow;
                tail.v=edge[i].v;
                tail.w=d[edge[i].v ];
                Q.push(tail);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",d[to]);
}

int main()
{
    while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(head,-1,sizeof(head));
        edgenum=0;
        from=0;
        to=2*(n-1)*(m-1)+1;
        int x,y,cost;
        for (int i=1 ;i<=n ;i++)
        {
            for (int j=1 ;j<m ;j++)
            {
                scanf("%d",&cost);
                x= i==1 ? from : (2*(i-1)-1)*(m-1)+j;
                y= i==n ? to : (2*(i-1))*(m-1)+j;
                add(x,y,cost);
            }
        }
        for (int i=1 ;i<n ;i++)
        {
            for (int j=1 ;j<=m ;j++)
            {
                scanf("%d",&cost);
                x= j==1 ? to : (2*(i-1))*(m-1)+j-1;
                y= j==m ? from : (2*(i-1))*(m-1)+j-1+m;
                add(x,y,cost);
            }
        }
        for (int i=1 ;i<n ;i++)
        {
            for (int j=1 ;j<m ;j++)
            {
                scanf("%d",&cost);
                x=(2*(i-1))*(m-1)+j;
                y=(2*(i-1)+1)*(m-1)+j;
                add(x,y,cost);
            }
        }
        Dijkstra(from,to);
    }
    return 0;
}