正是阶段高等数学复习--函数极限的计算

2023-12-04 01:20

本文主要是介绍正是阶段高等数学复习--函数极限的计算,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

之前在预备阶段中函数极限的解决方式分三步,第一步观察形式并确定用什么方式来解决,第二步化简,化简方式一共有7种,分别是最重要的三种(等价替换、拆分极限存在的项、计算非零因子)以及次重要的4种(根式有理化、提公因子、倒代换、幂指函数指数化),第三步是计算(泰勒公式和洛必达法则),每做完一步就要先观察,化简式子。

在基础阶段中更加简洁了一下,函数极限的计算一共有五个方法:利用基本极限求极限、利用等价无穷小求极限、利用有理运算法则求极限、利用洛必达法则求极限、利用泰勒公式求极限,这样更加简洁了,比如我们观察形式的时候发现是0/0型,那我们就考虑用等价替换或者是洛必达或泰勒公式来解决,若是1^无穷型,则利用基本极限中x->0,(1+x)^1/x=e的扩展的三部曲来解决等等。

首先第一个方法:利用基本极限求极限(9个),分别是x->0,sinx/x;x->0,(1+x)^1/x=e;x->无穷,(1+1/x)^x=e(这里注意,x->无穷,(1+x)^1/x = ?或者x->0,(1+1/x)^x = ?,首先幂指函数的底数一定>0所以上述两个极限都不存在,因为左右极限有一边是不存在的,其次若只求存在的那一边,结果等于什么,我们可以用幂指函数指数化然后结合方法来求,最后结果为1);x->0,a^x-1/xlna=1;x->无穷,n^1/n=1(这个可以用幂指函数指数化来求得);x->无穷,a^1/n=1,多项式求极限(抓大头,当x->无穷时,取指数高的,当x->0时,取指数低的);n->无穷,x^n=(|x|>1,=无穷,|x|<1,=0,x=1,=1,x=-1,不存在);n->无穷,e^nx也是分情况讨论(x>0,x<0以及x=0)。我们将1^无穷型展开来说它的三步走:化为(1+f(x))^g(x)的形式;写成e^f(x)*g(x)的形式,最后得答案,推理过程不多说了。

第二个方法:利用等价无穷小求极限,乘除法中能用,加减法中也能用(a---a1,b---b1,a-b---a1-b1,前提是a/b!=1;;a---a1,b---b1,a+b---a1+b1,前提是a/b!=-1),这个规则一定要搞清,下面就是一阶二阶三阶无穷小,一阶(sinx---x;tanx---x;arcsinx---x;arctanx---x;a^x-1---xlna;e^x-1---x;ln(1+x)---x;(1+f(x))^g(x)-1---f(x)*g(x))二阶(1-cosx---1/2*x^2;ln(1+x)-1----1/2*x^2;e^x-1-x---1/2*x^2)三阶(sinx-x----1/6*x^3;arcsinx-1---1/6*x^3;tanx-x---1/3*x^3;arctanx-x----1/3*x^3)

第三个方法:利用有理运算法则求极限(其实是包含了拆分极限存在的项和计算非零因子),最初我们认为当x->x0时,f(x)+/-*g(x)只有当两个极限都存在的时候才能拆开,但是加减的时候有一个存在就可以拆开,因为另外一个如果是存在的则整体也是存在的,若另一个不存在则整体也是不存在的;在乘除法中若有一个是存在且不为0的就可以计算出来,一定是不为0,而且这个因子一定是相对整个函数是因子才能计算。当x->x0时,若f(x)/g(x)存在,且x->x0,g(x)=0,则x->x0,f(x)=0,即分母趋向于0,分子也趋向于0(f(x)=f(x)/g(x)*g(x),0*有界一定=0);当x->x0时,若f(x)/g(x)存在但不等于0,且x->x0,f(x)=0,则x->x0,g(x)=0,即分子趋向于0,分母也趋向于0(例如当x->0时,sinx/1+x^2=0,sinx->0,但1+x^2=0->2)

第四个方法:利用洛必达法则求极限(0/0或无穷/无穷都可以用,但是使用前有前提,就是使用完后极限还是存在的,一般做题的时候使用都存在)

第五个方法:利用泰勒公式(带皮埃诺余项的泰勒公式)求极限

前提是x=x0时n阶可导,特别是x=0时n阶可导我们使用麦克劳林公式

sinx、arcsinx、tanx、arctanx、cosx、e^x-1、ln(x+1)、(1+x)^a这八个比较重要

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