数字信号复习题纲

本参考复习题纲只适用于 CUIT 电子信息专业 张钟浩 老师 的数字信号处理理论及算法

一、希尔伯特变换器（✔️ ）

1. 什么是希尔伯特变换器？

2. 试证明信号通过希尔伯特变换器后的输出

例题：

其实要点就是把 sin cos 函数的频谱 也就是傅里叶变换，再分 w>0 和 w<0 部分和 H(jw) 相乘 再化成时域函数就好啦。

---

二、能量信号的自相关函数、卷积运算与能量谱（✔️）

1. 能量信号（科普的）

• 能量信号
  定义：信号能量等于一个有限正值，但平均功率为零。
  特征：信号的振幅和持续时问均有限，非周期性
  实例：单个矩形脉冲
  

• 自相关函数
  

• 卷积运算
  

• 能量谱
  

结论
能量信号在 零时刻的自相关函数 就等于 信号的能量；
自相关函数是偶函数；
能量信号的 自相关函数 与 信号能量谱密度 是 傅里叶变换对。

2. 试证明自相关函数运算与卷积运算的关系（背就好）

3. 试证明自相关函数的傅里叶变换是能量谱，即信号幅度谱的平方（背就好）

---

三、FIR 滤波器（✔️）

1. 相关概念

1. FIR 滤波器的冲激响应 一定是有限长的，如 h(n) = {1,2,3}，其他位置为 0

2. 显然 FIR 滤波器一定是稳定系统 （h(n) 累加和是绝对可和的）

3. FIR 为全0点系统

4. 若要求 FIR 滤波器是线性相位 FIR 滤波器，那么 必须满足对称性
   

5. 会画线性相位 FIR 滤波器的直接结构 和高效结构 h(n) = {1,2,3,2,1}
   

6. 扩展画图
   像下面几个序列需要对应的结构图
   h(n)={1,2,3,2,1} ----》 使用第一类 b N 为奇数
   h(n)={1,2,3,3,2,1} ----》 使用第一类 a N 为偶数
   h(n)=(1,2,0,-2,-1} ----》 使用第二类 b N 为奇数
   h(n)={1,2,-3,3,-2,-1} ----》 使用第二类 a N 为偶数
   

2. 重要结论

1. 如果 z₀ 是线性相位FIR滤波器的零点，那么 Z^*,1 / Z₀，1/Z₀^* 都是线性相位FIR滤波器的零点。
2. 当线性相位FIR滤波器的零点个数为单数时，如果滤波器是高通滤波器，那么在 z=±1处存在零点；如果滤波器是低通滤波器，那么在 z =-1 处存在零点。

---

四、DFT 与 FFT（✔️）

0. 循环卷积

0.5 蝶形运算单元公式

每一个蝶形公式就是只管输入，计算输出，注意箭头方向

• （DIT 蝶形）
  
• （DIF 蝶形）
  

1. 画 4 点基 2-DIT（时域抽取）-FFT 和基 2-DIF（频域抽取）-FFT 流图

公共运算：

1. 4点 DIT-FFT

2. 4点 DIF-FFT

2. 画 8 点基 2-DIT（时域抽取）-FFT 和基 2-DIF（频域抽取）-FFT 流图

公共运算（只需要4个）：

1. 8点DIT-FFT

2. 8点DIF-FFT

3. 会手算有限长序列的 DFT

就是带公式（带进去计算就好）

---

五、z 逆变换（✔️ ）

0. z变换的基本性质和常用变换对

1. 求z逆变换

如

• 理论（大概率只考单极点）：
  
  例题：
  

---

---

2. 根据 H(z) 表达式写出零极点、收敛域

零点：分子取0时， z 的取值
极点：分母取0时， z 的取值

3. 会判断在何收敛域情况下， 是因果的/非因果的，以及稳定的/不稳定的

因果性 可以 由收敛域得到 就是上面的情况

• 一个因果的 LSI 系统稳定的充要条件是其所有的极点必须都位于单位圆内
• 一个 LSI 系统是稳定的充要条件是其收敛域包含单位圆。

通用 判定稳定性（了解即可）

4. 系统响应求解

---

六、用 DFT 估计频谱（✔️ ）

1. 仅仅通过补零，能否改善频谱估计的物理分辨率？

• 不能

2. 仅仅通过补零，能减少 栅栏 效应，改善频谱估计的 （计算）频率 分辨率。

---

七、低通数字滤波器设计

1.设计步骤

2. 注意点

角频率 ω与频率f之间的关系为：ω = 2πf

3. 计算流程

1. 巴特沃斯求H_s(s)

这里要注意一下这个 λ_sp 的取值，如果采用了对应的 脉冲响应不变法、双线性变换法的话就要 变一下

λ_sp = Ω_s / Ω_p

---

2. 使用 脉冲响应法求 H(z)

3. 使用双线性变换法

八、序列抽取与插值（✔️ ）

1. 如何用数学表达式和框图表示 L 倍抽取？

实际应用中，为了避免频域混叠，在抽取前需要添加低通滤波器。

---

九、随机信号的基本概念（✔️ ）

1. 平稳性与各态历经性

转的话就用欧拉公式就可以啦

---

2. 方差、互协方差、均方值、自相关函数和功率谱之间的关系是什么？

3. 白噪声自相关函数为冲激函数，功率谱为常数。

---

十、自相关函数的直接估计法（✔️ ）

重点复习此方法的偏差性能分析：教材 13.1.1 节中第 1 小节“1.偏差”的第508 页部分，公式+结论要点。

---

十一、K-L 变换（✔️ ）

1. 零均值宽平稳实随机向量 的协方差矩阵 的非对角元绝对值越大，说明各元素之间的相关性越_强_？（强/弱）

2. K-L 变换 y=Ax 的目的是什么？教材 P327 关于 K-L 变换优点的讨论 ①。

K-L变换是Karhunen-Loeve变换的简称，这是一种特殊的正交变换，主要用于一维和二维信号的数据压缩。

• 举例：对给定的信号x(n),若它是正弦信号，那么不管它有多长，我们仅需三个参数，即幅度、频率和相位，便可完全确定它。当我们需要对x(n)进行传输或存储时，仅需传输或存储这三个参数。在接收端，由于这三个参数可完全无误差地恢复出原信号，因此达到了数据最大限度的压缩。对大量的非正弦信号，如果它的各个分量之间完全不相关，那么表示该数据中没有沉余，需要全部传输或存储；若x(n)中有相关成分，通过去除其相关性则可达到数据压缩的目的。

优点：

3. K-L 变换后 y 的协方差阵C_y 与 C_x 的关系？教材 P326 公式(8.2.2)前半部分

4. 其他

• 协方差矩阵各非对角元素为0的含义？
  这表示不同变量之间不存在线性相关性，即它们是相互独立的。

• 协方差矩阵各个对角元素的含义是什么？对角元的值越大说明什么？
  协方差矩阵的对角元素表示各个随机变量的方差，对角元素的值越大表示该随机变量的取值波动越大，即方差越大

---

十二、ARMA、AR、MA 模型以及参数谱估计（✔️ ）

1、三种模型的含义。在什么情况下，ARMA模型变为AR模型？在什么情况下，ARMA模型变为MA模型？

2、三种模型的功率谱表达式。在参数谱估计方法中，哪些是待估计参数？

3、Levinson-Durbin 递推算法步骤

例题：