深入了解Green函数法

Green 函数法

 Green函数法是求解非齐次微分方程的一个重要方法，在求解含场源的电磁场边值问题中具有广泛的应用。

Green 函数

现考虑一般非齐次线性微分方程：
$$Lu(r)=f(r)\text{\hspace{1em}(1)}$$
式中，$L$为线性微分算子。$u(r)$为待求函数；$f(r)$为方程的自由项（或称源函数、激励函数），他们是空间坐标$r$的函数。
在微分方程 (1)的解形式上可将其两边同乘逆算子$L^{-1}$有：
$$L^{-1}Lu(r)=L^{-1}f(r)$$
即
$$u(r)=L^{-1}f(r)\text{\hspace{1em}(2)}$$
  设源函数$f(r)$限于在有限体积$V$内,它在V外为零。按狄拉克（$\delta$）函数的定义及其性质，我们可以将源函数$f(r)$表示为：
$$f(r)={\iiint }_{V}f(r^{\prime })\delta (r-r^{\prime })d{v}^{\prime }\text{\hspace{1em}(3)}$$
将（3）代入（2）式可得：
$$\begin{array}{rl}u(r)& =L^{-1}{\iiint }_{{\mathrm{v}}^{\prime }}f(r^{\prime })\delta (r-r^{\prime })d{v}^{\prime }\\ & ={\iiint }_{{\mathrm{v}}^{\prime }}f(r^{\prime })L^{-1}\delta (r-r^{\prime })d{v}^{\prime }\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
令
$$L^{-1}\delta (r-r^{\prime })=G(r,r^{\prime })\text{\hspace{1em}(5)}$$
则
$$u(r)={\iiint }_{{\mathrm{V}}^{\prime }}G(r,r^{\prime })d{v}^{\prime }\text{\hspace{1em}(6)}$$
式中，带撇的坐标为源点坐标；不带撇的坐标为场地坐标。对（5）式两边同时做算子$L$运算，即有：
$$LG(r,r^{\prime })=\delta (r-r^{\prime })\text{\hspace{1em}(7)}$$
方程（7）的解$G(r,r^{\prime })$就定义为相应L算子方程的Green函数（亦称为点源影响函数）。比较（1）和（7）式可以发现，$G(r,r^{\prime })$所满足的方程式将源待求解的非齐次方程的自由项$f$变成$\delta$函数、$u\Rightarrow G$后的方程。由于方程（7）的自由项是$\delta$函数，因此求解比（1）简单许多。
 $G(r,r^{\prime })$的物理意义是位于$r^{\prime }$的电源在r处所产生的场。具有强度为$f(r^{\prime })d{v}^{\prime }$的点源所产生的场则为$f(r^{\prime })G(r,r^{\prime })d{v}^{\prime }$,由于方程的线性，因而具有连续场源分布的$f(r)$所产生的场等于具有强度的各个点源的叠加，从而表示为（6）的积分形式。  工程上将$\delta$函数称为单位脉冲函数。

电磁问题中的非齐次微分方程

  对于静电场，在具有介电常数$\epsilon$的媒质中，当存在有电荷密度分布$\rho (r)$时，它在空间所产生的静电势$u=\varphi (r)$满足标量Possion方程：
$${\nabla }^2\varphi =-\frac{1}{\epsilon }\rho (L=-{\nabla }^2)\text{\hspace{1em}(8)}$$
  对于稳恒电流场，在具有磁导率$\mu$的媒质中，当存在有电流密度分布$\mathbf{J}(\mathbf{r})$时，它在空间所产生的磁矢量势$\mathbf{A}(\mathbf{r})$满足矢量Possion方程：
$${\nabla }^2\mathbf{A}=-\mu \mathbf{J}(L=-{\nabla }^2)\text{\hspace{1em}(9)}$$
  对于时间因子$e^{j\omega t}$的时谐电磁场，采用势函数法，在均匀各向同性$\epsilon$、$\mu$媒质中，当含有电荷密度分布$\rho (r)$时，它在空间所产生的电标量势$\varphi$满足非齐次标量Helmholtz方程：
$${\nabla }^2\varphi +k^2\varphi =-\frac{1}{\epsilon }\rho (L=-({\nabla }^2+k^2)\text{\hspace{1em}(10)}$$
而当含有电流密度分布$\mathbf{J}(\mathbf{r})$时，其产生的磁矢量势$\mathbf{A}$满足非齐次的矢量Helmholtz方程：
$${\nabla }^2\mathbf{A}+k^2\mathbf{A}=-\mu \mathbf{J}(L=-({\nabla }^2+k^2)\text{\hspace{1em}(11)}$$
由于（9）式和（11）中的$\mathbf{A}$的方向与$\mathbf{J}$的方向相同，我们可以将他们分解成三个直角坐标分量后求解，因此这两个方程亦可归为标量的Possion和Helmholtz方程的求解。
  对于存在有$\rho (r)$和$\mathbf{J}(\mathbf{r})$的电场$\mathbf{E}$和磁场$\mathbf{H}$所满足的方程为：
$${\nabla }^2\mathbf{E}+k^2\mathbf{E}=\frac{1}{\epsilon }\nabla \rho +j\omega \mu \mathbf{J}\text{\hspace{1em}(12)}$$
和
$${\nabla }^2\mathbf{H}+k^2\mathbf{H}=-\nabla \times \mathbf{J}\text{\hspace{1em}(13)}$$
综上所述，此时对应的Green函数满足方程:
$${\nabla }^{2}G(r,r^{\prime })=-\delta (r-r^{\prime })\text{\hspace{1em}(14)}$$
和
$${\nabla }^{2}G(r,r^{\prime })+k^{2}G(r,r^{\prime })=-\delta (r-r^{\prime })\text{\hspace{1em}(15)}$$
  通常，对于数学上的定解问题，或具体的电磁问题（或物理问题），方程的解$u(r)$必须满足问题给定的边界条件和自然（有界、单值）条件，其$G(r,r^{\prime })$满足相应的齐次边界条件。因而，不同边值问题具有不同形式的方程和不同的边界条件就将有不同的Green函数。
  对于无界域（且空间中无任何障碍物），即自由空间倾向，相应方程（1）的Green函数，被称为该方程的自由空间Green函数，亦称为该方程的基本解；并通常用$G_0(r,r^{\prime })$表示。

Green定理与证明

  Gauss-Green公式又称为散度定理，是数学分析中的一个重要的公式，已成为偏微分方程的一个基本工具，广泛应用于现代数学、现代物理学的许多领域。二维空间的Green公式可以看成是Green定理的一个特例，然后再利用散度定理给出广义分部积分公式、第一Green公式和第二Green公式的证明。

1 、二维空间中的Green公式

先给出如下的散度定理：
  设$\Omega$是n维空间$R^n$的一个有界区域，其边界$\partial \Omega$是分片光滑的曲面。若函数$P_i(x_1,x_2,...,x_n)(i=1,2,...,n)$在闭区域$\overline{\Omega }=\Omega +\partial \Omega$上连续，在$\Omega$内有一阶的连续偏导数，则：
$$\int ...{\int }_{\Omega }\sum _{i=1}^n\frac{\partial P_i}{\partial x_i}d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_{\partial \Omega }\sum _{i=1}^n{P}_{i}cos(n,x_i)dS\text{\hspace{1em}(16)}$$
  其中，n是曲面$\partial \Omega$的单位外法向量，$cos(n,x_i)$表示曲面$\partial \Omega$的单位外方向量与$x_i$轴的方向余弦，$dS$为$\partial \Omega$的面积元。
  在公式（16）中，当n=2时，$\overline{\Omega }$为平面上由有限条可求曲线围城的闭区域，$\partial \Omega$表示区域$\Omega$的边界曲线，$dS$表示弧长元。取$x_1=x,x_2=y,P_1=Q,p_2=-P$且$P$,$Q$在$\overline{\Omega }$上连续，并有连续的一阶偏导数，则公式（16）可表示为：
$${\iint }_{\Omega }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\int }_{\partial \Omega }(Qcos(n,x)-Pcos(n,y))dS\text{\hspace{1em}(17)}$$
设t为边界$\partial \Omega$的单位切向量，由于n取外法线方向，因而
$$cos(n,x)=cos(t,y),cos(n,y)=-cos(t,x)$$
下图关于单位切向量和法向量运动到原点时，可以帮助我们理解上式。其中N为法向量，T为单位切向量，详细请看曲线弧长，单位切向量，主单位法向量

由公式(17)可得：
$${\iint }_{\Omega }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\int }_{\partial \Omega }(Qcos(n,t)+Pcos(n,t))dS={\int }_{\partial \Omega }Pdx+Qdy$$
这是常见的Green公式的表示形式。令$\overrightarrow{\nu }=[Q,P],\nabla =[\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}],d\overrightarrow{a}=[dx,dy]$，则上式写成向量的形式可以表示为：
$${\iint }_{\Omega }\nabla \cdot \overrightarrow{\nu }dxdy={\oint }_{\partial \Omega }\overrightarrow{\nu }\cdot d\overrightarrow{a}$$
上式即为散度定理，更一般的可以表示为
$${\int }_v(\nabla \cdot \nu )d\tau ={\oint }_s\nu \cdot da$$

2、广义分部积分公式

  通过公式（16）可以推导出一般情形下的分部积分公式，即

定理1

  设$V$是n维空间$R^n$的一个有界区域，其边界$\partial V$是分片光滑曲面。若函数$\varphi$和$\psi$在闭区间$\overline{V}=V+\partial V$上连续，在$V$内有一阶的连续偏导数，则：
$$\begin{array}{r}\int ...{\int }_V\varphi \frac{\partial \psi }{\partial x_i}d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_{\partial V}\varphi \psi cos(n,x_i)dS-\\ \int ...{\int }_V\psi \frac{\partial \varphi }{\partial x_i}d{x}_1...d{x}_n\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$
证明
利用公式（16），立即可得：
$$\int ...{\int }_V\frac{\partial P_i}{\partial x_i}d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_{\partial V}{P}_{i}cos(n,x_i)dS，(i=1,2,...,n)\text{\hspace{1em}(19)}$$
由于$$\frac{\partial (\varphi \psi )}{\partial x_i}=\varphi \frac{\partial \psi }{\partial x_i}+\psi \frac{\partial \varphi }{\partial x_i},(i=1,2,...,n)$$
两边在区域$V$上积分，得：
$$\int ...{\int }_V\frac{\partial (\varphi \psi )}{\partial x_i}d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_V\left(\varphi \frac{\partial \psi }{\partial x_i}+\psi \frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\right)d{x}_1...d{x}_n$$
令$P_i=\varphi \psi$,利用公式（19）可得：
$$\int ...{\int }_V\frac{\partial (\varphi \psi )}{\partial x_i}d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_{\partial V}\varphi \psi cos(n,x_i)dS$$
联立以上两式，即可得带分部积分公式（18）。证毕。

3、第一Green公式和第二Green公式

我们用${\nabla }^2$表示n维空间$R^n$中的Laplace算子，即$${\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+...+\frac{{\partial }^2}{\partial x_n^2}\text{\hspace{1em}(20)}$$
$\frac{\partial \varphi }{\partial n}$表示函数$\varphi$沿曲面$\partial \Omega$的外法向量导数，即
$$\frac{\partial \varphi }{\partial n}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}cos(n,x_i)\text{\hspace{1em}(21)}$$
$\nabla \varphi$表示函数$\varphi$的梯度，即
$$\nabla \varphi =\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x_1},\frac{\partial \varphi }{\partial x_2},...,\frac{\partial \varphi }{\partial x_n}\right)\text{\hspace{1em}(22)}$$

定理2

  设$V$是n维空间$R^n$的一个有界区域，其边界$\partial V$是分片光滑曲面。若函数$\varphi$和$\psi$在闭区间$\overline{V}=V+\partial V$上连续,在$V$内有一阶的连续偏导数和二阶连续偏导数，则：
$$\int ...{\int }_V\varphi {\nabla }^2\psi d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_{\partial V}\varphi \frac{\partial \psi }{\partial n}dS-\int ...{\int }_V\nabla \varphi \cdot \nabla \psi d{x}_1...d{x}_n\text{\hspace{1em}(23)}$$
$$\int ...{\int }_V(\varphi {\nabla }^2\psi -\psi {\nabla }^2\varphi )d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_{\partial V}\left(\varphi \frac{\partial \psi }{\partial n}-\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}\right)dS\text{\hspace{1em}(24)}$$
$$\int ...{\int }_V({\nabla }^2\psi )d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_{\partial V}\frac{\partial \psi }{\partial n}dS\text{\hspace{1em}(25)}$$
证明
在分部积分公式中，对$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_i^2}$进行分部积分，得：
$$\begin{array}{r}\int ...{\int }_V\varphi \frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_i^2}d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_{\partial V}\varphi \frac{\partial \psi }{\partial x_i}cos(n,x_i)dS-\\ \int ...{\int }_V\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\frac{\partial \psi }{\partial x_i}d{x}_1...d{x}_n\end{array}\text{\hspace{1em}(26)}$$
对（26）式求和，得
$$\begin{array}{r}\int ...{\int }_V\varphi \sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_i^2}d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_{\partial V}\varphi \sum _{i=1}^n\frac{\partial \psi }{\partial x_i}cos(n,x_i)dS-\\ \int ...{\int }_V\sum _{i=1}^n\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\frac{\partial \psi }{\partial x_i}d{x}_1...d{x}_n\end{array}$$
结合（20），（21），（22）式可得公式（23），由于$\varphi$和$\psi$可以相互兑换，同理可得：
$$\int ...{\int }_V\psi {\nabla }^2\varphi d{x}_1...d{x}_n=\int ...{\int }_{\partial V}\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}dS-\int ...{\int }_V\nabla \psi \cdot \nabla \varphi d{x}_1...d{x}_n\text{\hspace{1em}(27)}$$
公式（23）与公式（27）相减可得公式（24）.在公式（24）中取$\varphi \equiv 1$,即可得到公式（25）。证毕。
其中公式（23）和公式（24）分别被称为第一Green公式和第二Green公式。

Green函数法原理

  Green函数法将原场问题的求解问题分成两部分：首先是求解方程（15）式满足齐次边界条件的解；然后再将问题的解化为求一个被积函数含Green函数与已知方程的非齐次项（电流源$J$或电流密度$\rho$）的体积分，及一个含Green函数（或其导数）与边界条件的面积分之和。详细理解可以参看（36）式。
  第二Green公式即公式（24）我们可以重新写为：
$${\iiint }_V(\varphi {\nabla }^2\psi -\psi {\nabla }^2\varphi )dv={\oint }_S\left(\varphi \frac{\partial \psi }{\partial n}-\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}\right)dS\text{\hspace{1em}(28)}$$
（28）式给出了函数$\varphi$和$\psi$满足的积分关系，若已知其中一个函数，则另一函数便可由已知函数的积分表示，因而有重要的实际应用意义。因此，令其中$\varphi$为待求微分方程的解，而$\psi =G(r,r^{\prime })$为相应方程的Green函数，则由（28）式，我们可以得到含有$\varphi$与已知$G(r,r^{\prime })$的积分关系式。
  现考虑Helmholtz方程边值问题。设在区域$V$内，（28）式中的$\varphi$满足方程：
$${\nabla }^2\varphi (r^{\prime })+k^2\varphi (r^{\prime })=-f\text{\hspace{1em}(29)}$$
而$G(r,r^{\prime })=\psi$是相应Helmholtz方程的Green函数，满足方程：
$${\nabla }^{2}G(r,r^{\prime })+k^{2}G(r,r^{\prime })=-\delta (r-r^{\prime })\text{\hspace{1em}(30)}$$
将$G(r,r^{\prime })=\psi$代入（28）式可得：
$$\begin{array}{r}{\iiint }_V(G(r,r^{\prime }){\nabla }^2\varphi (r^{\prime })-\varphi {\nabla }^{2}G(r,r^{\prime }))d{v}^{\prime }\\ ={\oint }_S\left(G(r,r^{\prime })\frac{\partial \varphi (r^{\prime })}{\partial n}-\varphi \frac{\partial G(r,r^{\prime })}{\partial n}\right)d{S}^{\prime }\end{array}\text{\hspace{1em}(31)}$$
由$G(r,r^{\prime })$乘上（29）可得：
$$G(r,r^{\prime }){\nabla }^2\varphi (r^{\prime })+k^2\varphi (r^{\prime })G(r,r^{\prime })=-f(r^{\prime })G(r,r^{\prime })\text{\hspace{1em}(32)}$$
由$\varphi (r^{\prime })$乘上（30）可得：
$$\varphi (r^{\prime }){\nabla }^{2}G(r,r^{\prime })+k^{2}G(r,r^{\prime })\varphi (r^{\prime })=-\varphi (r^{\prime })\delta (r-r^{\prime })\text{\hspace{1em}(33)}$$
（32）式减(33)式得：
$$G(r,r^{\prime }){\nabla }^2\varphi (r^{\prime })-\varphi (r^{\prime }){\nabla }^{2}G(r,r^{\prime })=-f(r^{\prime })G(r,r^{\prime })+\varphi (r^{\prime })\delta (r-r^{\prime })\text{\hspace{1em}(34)}$$
将（34）式代入（31），且由狄拉克函数$\delta (r-r^{\prime })$的性质有$${\iiint }_V\varphi (r^{\prime })\delta (r-r^{\prime })=\varphi (r)\text{\hspace{1em}(35)}$$
整理可得
$$\varphi (r)={\iiint }_{V}G(r,r^{\prime })f(r^{\prime })d{v}^{\prime }+{\oint }_S\left(G(r,r^{\prime })\frac{\partial \varphi (r^{\prime })}{\partial n}-\varphi \frac{\partial G(r,r^{\prime })}{\partial n}\right)d{S}^{\prime }\text{\hspace{1em}(36)}$$
（36）式表明，$V$内任意一点的$\varphi (r)$值可表为对$V$的体积分与对界面$S$的面积分之和；前者表示$V$内源$f$分布对$\varphi (r)$的贡献，后者表示界面$S$上感应面源分布对$\varphi (r)$的贡献。