洛谷P7918 【洛谷月赛LGR-096 Div.2 T2】 [Kubic] Lines题解

这道题是普及-，结果我比赛时想了整整一个小时。。。果然我还是太菜了啊QAQ

题目大意

解题思路

佬曰：“有人看到这道题直接网络流。”

网络流？最大独立集？大可不必。题目中最关键的一句话其实是

注意：输入数据不保证$\gcd (a,b)=1$。

真是一语点醒梦中人。事实上，我们需要充分利用$a$,$b$是整数的条件。两条直线$a_{i}x+b_{i}y+c_i=0$与$a_{j}x+b_{j}y+c_j=0$平行，当且仅当$a_i{b}_j=a_j{b}_i$（或者说它们斜率相等）。如果我们将每对$(a_i,b_i)$预处理成$(\frac{a_i}{\gcd (a_i,b_i)},\frac{b_i}{\gcd (a_i,b_i)})$（如果$\gcd (a_i,b_i)\ne 0$），那么平行的直线其$(\frac{a_i}{\gcd (a_i,b_i)},\frac{b_i}{\gcd (a_i,b_i)})$是相等的（例如$3x+5y+3=0$和$9x+15y+8=0$，都可以处理成$(3,5)$）。每条直线的斜率都被归约为互质的数对。而这样的数对不相等的直线一定会相交，因为斜率不相等。我们将平行的直线合并为一“类”，假设共有$k$类，两类直线之间一定会有交点。假设每类所含直线个数分别为$d_1,d_2,\dots ,d_k$。
我比赛时的想法是：总的交点个数为$\sum _{i=1}^{k-1}\sum _{j=i+1}^k{d}_i{d}_j=\frac{(d_1+d_2+\cdots +d_k{)}^2-(d_1^2+d_2^2+\cdots +d_k^2)}{2}$。按$d_i$从小到大选取覆盖的直线，每次能覆盖$d_i(d_{i+1}+d_{i+2}+\cdots +d_n)$个点。直到能覆盖到所有交点为止。
正解： 后来一想，发现其实答案是$n-{\text{max}}_{i=1}^n{d}_i$。因为既然要覆盖所有的点，只能有一类直线不被选取，其他类的直线必须被选取。那么就舍弃数量最多的一类直线。
关于只能有一类直线被舍弃，可以用反证法。假如有两类直线都被舍弃，则这两类之间的交点无法被任何其他类的直线覆盖，所以最多只能舍弃一类。

时间复杂度：$O(n\log n)$。

代码实现

代码中，我们使用mp（std::map<pair<ll, ll>, ll>类型）来统计数对为pair<ll, ll>的直线的个数（即$d_i$）。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <map>
#include <functional>using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;inline ll read() // 快速读入
{ll ret = 0;char sgn = 0;char c;while(!isdigit(c = getchar())) if(c == '-') sgn = 1;ret = c ^ 48;while(isdigit(c = getchar())) ret = (ret << 1) + (ret << 3) + (c ^ 48);return sgn ? -ret : ret;
}const int MAXN = 1e5 + 5;
ll n, a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN]; // a[i]x + b[i]y + c[i] = 0
map<pair<ll, ll>, ll> mp;ll gcd(ll ai, ll bi) // 最大公约数
{return bi ? gcd(bi, ai % bi) : ai;
}void ins(ll ai, ll bi) // 插入一条直线
{ll g = gcd(ai, bi);if(!g) g = 1;// 如果最大公约数为0，就将ai, bi同时除1，相当于啥都没干pair<ll, ll> p(ai / g, bi / g);// 找到直线对应的数对（每类直线数对相等）if(mp.find(p) == mp.end()) // 如果mp中没有找到该数对mp[p] = 1; // 新建该数对（新建一类），数量为1else ++mp[p]; // 否则该类直线个数+1
}int main()
{n = read();for(ll i = 1; i <= n; ++i)a[i] = read(), b[i] = read(), ins(a[i], b[i]), c[i] = read();ll ans = 0;for(map<pair<ll, ll>, ll>::iterator i = mp.begin(); i != mp.end(); ++i)ans = max(ans, i->second); // 找到数量最多的一类直线cout << n - ans << '\n'; // 输出答案return 0;
}