学习心得——第一类错误、第二类错误、统计功效

  一、什么是第一类错误、第二类错误、统计功效

        在某个文艺小清新网站上，有一则作者不可考的略黄略暴力的故事很好地阐述了这几个概念：话说N年过去了，某位性别不明的地球统治者决定要消灭地球上的男人们。但是怎样找到地球上所有的男人并把他们都消灭呢？这位统治者开发出了一种自动判别武器——如果胸小于A罩杯，则杀无赦；如果等于或大于A罩杯，则放过。 

        如果用统计学的语言来说，由于武器旨在找出男人放过女人，每当它碰到一个没见过的人时，它就先假设这是个女人（「原假设」），如果这人罩杯太小，那就认为这肯定不是个女人（「推翻原假设」）。不是女人那还能是啥？男人呗（「接受备选假设」）。 

在这里，武器的判别程序犯了两种错误：

        把一小部分小胸女人当成了男人，也就是在原假设其实为真时错误地拒绝了它，这在统计学中被称为「第一类错误」；

        把一小撮大胸男人当成了女人，也就是在原假设其实为假时错误地接受了它，这在统计学中被称为「第二类错误」。 

腊字母⍺和β来代表犯第一类和第二类错误的概率，既然原来的目标是消灭男人，我们就看看到底多大比例的男人被干掉了，这个比例就是1-β。我们很快就会看到，这正是「统计功效」。

统计功效指的就是：如果我们感兴趣的效应或差异的确存在，在给定的显著性水平的规定下，我们能够正确地拒绝原假设的概率。这其实就是不犯第二类错误的概率，因此，统计功效的值可以用1减去β得到，用数学式子表示为

 其中，P表示概率，(拒绝 H0 | H1 为真)表示在备选假设 H1为真的条件下拒绝了原假设H0的事件。

        当了解了这一切之后，统治者很生气，就不能两种错误都少犯些吗！ta得到的反应一定是：「臣妾做不到啊！！」在任何统计学问题上，两类错误都是此消彼长的。
        如果统治者想少犯第二类错误，把大胸男们也一块赶尽杀绝，那么必然会有更多小胸女人中枪；相反，如果统治者想少犯第一类错误，降低罩杯标准，那么男人们逃脱厄运就更容易了。
        因此，我们的统计学巨人尽管努力地想用显著性和功效这两条大腿把第一类和第二类错误都踩在脚下，然而他却是骑在一辆自行车上——放下一条腿，就只能抬起另一条腿。 

特别鸣谢：张之昊 《说人话的统计学》