巧记pn结静电特性——hebut考试版

前言

为了帮助各位器件学习的初学者更好地应对考试，用最少的时间经历掌握住pn结静电特性的考核重点公式，本文在不细纠原理的前提下巧妙地将pn结静电特性中的系列核心公式与初高中数学，考研数学的基本知识进行巧妙联系，以便于读者更好地记忆重点公式。本文涉及到的内容比较基础和简单，适用于新人小白，高手请自行跳过。

一、pn结结构图与基础数学知识

对于什么都不懂的新人小白，只需记住以下几点即可：
1.o左侧为p区，右侧为n区
2.-xp<x<o的区域和o<x<xn的区域叫做空间电荷区，也叫耗尽区（里面没有载流子，所以叫耗尽了嘛。。。）
3.常数的不定积分是一次函数，一次函数的不定积分是二次函数

二、pn结静电特性中的三大件

为了帮助基础不太好的uu们更好理解pn结静电特性的三大件，我们先交代出在小注入和耗尽层近似下（别管，考试都是这种情况）的一些结论，可以结合下述三者的关系图进行说明。

1.电荷密度是常数，只不过在-xp<x<0和0<x<xn时不相等罢了，所以要分p区和n区进行讨论。
2.电荷密度积分后得电场强度（有个系数而已，后面再说），即常数的积分是直线，用斜率-横截距表示后面会更简单哦！
3.电场强度积分后得电压/电势（填个负号而已，后面再说），即直线的积分是二次函数，用顶点式表示后面会更简单哦！（Q：那个C是啥呀？A：不定积分要加C！）

好的，下面我们就要开始用初中数学+考研数学的入门知识秒杀pn结静电特性公式的记忆了！

1.电荷密度

简单来说，电荷密度就是电荷量乘以掺杂浓度，p区空穴（+）多，所以它会把空穴分享给n区（专业点就叫扩散），断舍离了一个（+），自身自然就变（-）了嘛。
同样地，n区电子（-）多，为了礼尚往来，它会把电子分享给p区，电子（-）送出去了，自己就变成（+）了。到这里我想你应该知道电荷密度ρ在p区和n区的正负情况了。
$$\rho =\{\begin{array}{l}-q{N}_A-x_p<x<0\\ q{N}_{D}0<x<x_n\\ 0x<-x_p,x>x_n\end{array}$$没错，就是上面这个式子，说白了就是个分段的常数，一正一负罢了，挺好记的！

2.电场强度

然后来说说电场强度这个一次函数，
初中老师告诉我们要想确定一条直线，只需要知道它的斜率和横截距，
高中老师告诉我们直线的斜率就是它的导数，
现在，泊松方程又告诉我们电场强度这个一次函数的斜率就是电荷密度除以了一个介电常数。
$$\frac{d\overrightarrow{E}}{dx}=\frac{\rho }{K_S{\epsilon }_0}$$电荷密度已经有了，貌似再给个横截距，初中生都能直接就能手搓pn结静电电场强度了。

考虑到有些小学生也想学习一番，我们再具体说一下电场强度的表达式。
-xp<x<0时，横截距为-xp；0<x<xn，横截距为xn，根据直线斜截式方程，立即推：
$$E\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-\frac{q{N}_A}{K_S{\epsilon }_0}\left(x+x_p\right)-x_p<x<0\\ \\ \frac{q{N}_D}{K_S{\epsilon }_0}\left(x-x_n\right)0<x<x_n\end{array}$$把这两条直线画到坐标系里就得到了上面这个电场的分布图——两条直线围成的倒三角。
注：直线的斜率就是在电荷密度除以介电常数！

3.电势电压

如果你还能记得电势电压的负梯度为电场强度的话，这个部分你基本就可以自己顺理成章地推出来了，不知道也没关系，现在知道也来得及。
$$E\left(x\right)=-\frac{dV\left(x\right)}{dx}or\frac{dV\left(x\right)}{dx}=-E\left(x\right)$$为了方便计算，我们干脆直接用后面那个式子，直接把2中得到的E(x)添个负号，然后直接不定积分！
$$V\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{q{N}_A}{2K_S{\epsilon }_0}{\left(x+x_p\right)}^2+C_1-x_p<x<0\\ \\ -\frac{q{N}_D}{2K_S{\epsilon }_0}{\left(x_n-x\right)}^2+C_{2}0<x<x_n\end{array}$$
注：记得先添负号在积分！
下面我们来确定一下C1和C2，给出常用的两种方法。

法一：结合上述图像，当x=-xp时，V=0，因此C1就是0，直接抹去；当x=xn时，V=Vbi，因此C2就是Vbi，直接写上。
法二：直接记住，多大点事！
最后给出完整的电势电压表达式：
$$V\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{q{N}_A}{2K_S{\epsilon }_0}{\left(x+x_p\right)}^2-x_p<x<0\\ \\ V_{bi}-\frac{q{N}_D}{2K_S{\epsilon }_0}{\left(x-x_n\right)}^{2}0<x<x_n\end{array}$$

至此，pn结静电特性的三大件就结束了，下面我们简单给出pn结静电特性中的两朵乌云的记忆方法。

三、pn结静电特性中的两朵乌云

在二中，我们讨论了pn结静电特性中的电荷密度、电场强度和电压电势，但貌似还遗留了一些重要的物理量，当然也是考试必考的内容。

1.内建电势

内建电势就是上文提到的C2，相信不少uu有疑问，这是个什么玩意？求解公式又是怎么来的？
如果你对它不太好奇的话，你就直接理解为：p区和n区互相礼尚往来互换多子的时候会产生电流，为了阻值它们这种行为，pn结内部建立了一种负反馈机制，这个玩意就是内建电势。
$$V_{bi}=\frac{kT}{q}\ln \left(\frac{N_A{N}_D}{n_i^2}\right)$$上面这个就是内建电势Vbi的求解公式，建议直接记住，想搞明白的可以借助电中性条件+爱因斯坦关系分离出电场强度，然后在整个空间电荷区做积分，然后你会发现最后你还是选择了直接记住它。

2.耗尽层宽度

耗尽层我们在一开始的第二点说明中就提到过，其宽度就是-xp到xn之间的距离，和内建电势一样，请直接记住它的表达式。
$$W=x_p+x_n={\left[\frac{2K_S{\epsilon }_0}{q{N}_{eff}}{V}_{bi}\right]}^{1/2}$$
这里有个记忆的好方法，可以看到W表达式中的分式部分就是我们前面推导的电势电压的二次项系数的倒数，只不过是把掺杂浓度那项换成了$N_{eff}$，这玩意叫做约化浓度。
$$N_{eff}=\frac{N_A{N}_D}{N_A+N_D}$$听名字感觉很高级，其实不就是个掺杂浓度“并联”嘛，所以直接得到最终的表达式即可：
$$W=x_p+x_n={\left[\frac{2K_S{\epsilon }_0}{q}\frac{N_A+N_D}{N_A{N}_D}{V}_{bi}\right]}^{1/2}$$

四、pn结静电特性推广

上述所有公式的推导都属于没有外加电压情况下的理想pn结模型，我们只需对其稍作修改，即可直接得出外加电压和p+—n结这两种情况下的对应公式。

1.外加电压VA不为零

该种情况下，只需要把前文所有出现Vbi的地方直接替换为（Vbi-VA），其它不需要进行任何改动，具体会发生相应改变的物理量有：

$$V\left(x\right)=V_{bi}-V_A-\frac{q{N}_D}{2K_S{\epsilon }_0}{\left(x-x_{\begin{array}{c}n\end{array}}\right)}^{2}0<x<x_{\begin{array}{c}n\end{array}}$$$$W=x_p+x_n={\left[\frac{2K_S{\epsilon }_0}{q}\frac{N_A+N_D}{N_A{N}_D}\left(V_{bi}-V_A\right)\right]}^{1/2}$$

2.p+—n结

p+—n结表示该pn结的p区掺杂浓度很高，该种情况下耗尽层主要降落在轻掺杂的一侧，故在计算耗尽层宽度时，可以采用近似公式：
$$W=x_p+x_n={\left[\frac{2K_S{\epsilon }_0}{q{N}_B}\left(V_{bi}-V_A\right)\right]}^{1/2}$$上式中NB为轻一侧掺杂的浓度，VA为外加电压。

五、思考题

在不考虑外加电压的理想pn结中，耗尽区宽度、电场峰值和内建电势之间有什么关系?这种关系可以推广到外加电压不为零的情况吗?可以推广到p+—n结的情况吗？可以推广到肖特基二极管的情况吗?（下附部分参考示意图）

总结

本文将pn结静电特性相关的重要公式与初高中数学，考研数学的基本知识相联系，有助于读者更加准确高效地记忆相关公式，以便初学者更好地应对考试。