PAT 1007 素数对猜想 (20 分)

1007 素数对猜想 (20 分)

让我们定义d​n​​为：d​n​​=p​n+1​​−p​n​​，其中p​i​​是第i个素数。显然有d​1​​=1，且对于n>1有d​n​​是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。

现给定任意正整数N(<10​5​​)，请计算不超过N的满足猜想的素数对的个数。

输入格式:

输入在一行给出正整数N。

输出格式:

在一行中输出不超过N的满足猜想的素数对的个数。

输入样例:

20

输出样例:

4

作者: CHEN, Yue

单位: 浙江大学

时间限制: 200 ms

内存限制: 64 MB

代码长度限制: 16 KB

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
bool rec_su[100001];bool su(int a)
{for(int i=2; i<=sqrt(a); i++)//注意这里用的是sqrt()求开方函数，如果没有会有一个点过不去{if(a%i==0){return false;}}return true;
}int main()
{int n;int temp;int counter=0;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){rec_su[i]=su(i);}for(int i=1; i<=n; i++){if(rec_su[i]){for(int j=i+1; j<=n; j++){if(rec_su[j]){temp=j;break;}}if(temp-i==2){counter++;}}}cout<<counter;
}

su函数中我一开始竟没有用sqrt函数，所以扣了两分超时分。后来在网上搜所有的满分答案都用的是sqrt，当时猜测sqrt确实减少了循环的次数，降低了时间复杂度，但是没有想到超时的原因就在这里。后来就搜为什么求一个素数要用开方：

如果一个数有因数，比如a=b*c，所有的数都可以找到这样的b和c，但是当abc都为整数的时候a才为合数或0或1（复数在正整数中的补集）。也就是说知道整数a,要确定是否有两个整数因数，只需要找到一个可以被a整除的因数就可以。而这两个因数只有两个关系，b<c或b=c。我们找到一个最小的因数就可以，这个最小的因数在哪个范围里呢？2到a的开方里。如8的开方是，2是8的最小因数（除1外），2是小于的。

看来程序的运行超时问题来源除了数据结构选择不当以外，还有数学层次上的问题。