【NOI2010】bzoj2005 能量采集

本文主要是介绍【NOI2010】bzoj2005 能量采集，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Description 栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列
有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，
表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0,
0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k +
1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1,
2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。
下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20 棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。
在这个例子中，总共产生了36的能量损失。 Input

仅包含一行，为两个整数n和m。 Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

容易发现其实就是gcd求和。

= = = \sum i = 1 n \sum j = 1 m gcd (i, j) \sum i = 1 n \sum j = 1 m \sum d | gcd (i, j) φ (d) \sum i = 1 n \sum j = 1 m \sum d | i \land d | j φ (d) \sum d = 1 min (m, n) ⌊ m d ⌋ ⌊ n d ⌋ φ (d)

$\begin{align} & \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \gcd(i,j) \\= &\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{d|\gcd(i,j)} \varphi(d) \\= & \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{d|i\land d|j} \varphi(d) \\= & \sum_{d=1}^{\min(m,n)} \lfloor{ m \over d} \rfloor \lfloor {n \over d} \rfloor \varphi(d) \end{align}$

因为不同的 $\lfloor{ m \over d} \rfloor \lfloor {n \over d} \rfloor$ 只有 $O(\sqrt n)$ 种，可以对于连续的每段直接求和。复杂度 $O(n+\sqrt n)$ 。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
int phi[100010],prm[100010],tot,n,m;
LL s[100010];
int main()
{int i,j;LL ans=0;scanf("%d%d",&n,&m);if (n>m) swap(n,m);phi[1]=1;for (i=2;i<=n;i++){if (!phi[i]){prm[++tot]=i;phi[i]=i-1;}for (j=1;j<=tot&&(LL)i*prm[j]<=n;j++)if (i%prm[j]==0){phi[i*prm[j]]=phi[i]*prm[j];break;}else phi[i*prm[j]]=phi[i]*phi[prm[j]];}for (i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+phi[i];for (i=1;i<=n;i=j+1){j=min(n/(n/i),m/(m/i));ans+=(LL)(n/j)*(m/j)*(s[j]-s[i-1]);}printf("%lld\n",ans*2-(LL)m*n);
}