循环冗余校验检错方案（CRC）

crc校验的根本思想就是在要发送的帧后面附加一个二进制序列，生成一个新帧发送给接收端。当然，这个附加的数不是随意的，它要使生成的新帧能与发送端和接收端共同选定的某个特定数整除，需要注意的是，这里不是采用的二进制除法，而是采用“模2除法”。到达接收端后，再把接收到的新帧除以（模2除）这个选定的除数。因为在发送端已经通过附加一个数做了去余处理，故得出的结果应该没有余数。如果出现了余数，则说明在传输的过程中出现了差错。

【说明】“模2除法”和“算数除法”类似，但它既不向上借位，也不比较除数与被除数相同位的数的大小，只要以相同的位数整除即可。模2加法运算：1+1=0, 1+0=1， 0+0=0，无进位，也无借位。模2减法运算：1-1=0， 1-0=1， 0-1=1， 0-0=0，无进位，也无借位。这两种运算相当于逻辑运算中的异或运算。如 100101除以1110，结果得到商为110，余数为1。

具体来说，crc校验主要分为一下几个步骤：

1）先选择（可以随机选择，也可以按照标准选择）一个用于在接收端进行校验时，对接收的帧进行除法运算的除数（是二进制比特串，通常以多项式表达，所以crc又称多项式编码方法，这个多项式也称为“生成多项式”）。

2）假定所选的数据帧为k位，然后在要发送的数据帧（假定m位）的后面补上k-1位“0”，然后用这个新帧（一共m+k-1位）以“模2除法”的方式除以上面这个除数，所得到的余数（也是二进制比特序列）就是该帧的crc校验码，也称之为FCS（帧校验序列）。 但要注意的是，余数的位数一定要只比除数的位数少一位，哪怕前面位是0，甚至全位0时都不能省略。

3）再把这个校验码附在原数据帧（就是m位的帧，不是生成的m+k-1位的帧）的后面，构建一个新帧发送给接收端；最后再在接收端再把这个新帧以“模2除法”的方式除以前面选择的除数，如果没有余数，则表明该帧在传输的过程中没有出错，否则出现了差错。

从上面可以看出，CRC校验中有两个关键点：一是要确定一个发送端可以接收端都用来作为除数的二进制比特串（或多项式），二是把原始帧与上面选定的除数进行二进制“模2除法”运算，计算出FCS，前者可以随机选择，也可以按照国际上通行的标准选择，但是 最高位和最低位必须均为“1”。如在IBM的SDLC（同步数据链路控制）规程中是用的CRC-16生成多项式g(x) = x^16 + x^15 + x^2 + 1（对应二进制比特串位： 11000000000000101）；而在ISO HDLC（高级数据链路控制）规程、ITU的SDLC、X.25、V.34、V.41、V.42等中是用CCITT-16生成多项式g(x) = x^16 + x^15 + x^5 + 1（对应二进制比特串为： 11000000000100001）。

2、crc校验码的计算示例

现假设选择CRC生成多项式位g(x) =  x^4 + x^3 + 1，要求求出二进制序列 10110011的CRC校验码。

1）根据生成多项式可以得到二进制比特序列除数位 11001。

2）因为生成多项式的位数为5，得知CRC校验码的位数为4，所以在原始帧后面添加4个0，得到 10110011 0000，然后把这个数以“模2除法”的方式除以生成多项式，得到余数（CRC校验码）位 0100，计算过程如下：

3）把上面计算出来的校验码0100替换帧 101100110000后面的四个0，得到新帧 10110011 0100，再把这个帧发送给接收端。

4）当接收端收到这个新帧后，会以“模2除法”的方式除以上面选定的除数 11001，验证余数是否为0，如果为0，则说明上述帧在传输的过程中没有发生差错，否则出现了差错。