有效数字 | 相对误差与有效数位

本文主要是介绍有效数字 | 相对误差与有效数位，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

有效数字

数学上用“四舍五入”的法则将一个位数很多的数表示成一定位数的数。如果一个近似数的误差限是它某一位的半个单位，则称它准确到这一位（即该位数字是准确的、有效的和可靠的）。并且，从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字，即有：

定义1：设$x^{\ast }$是一个准确数，x是它的近似数，若
$$|x^{\ast }-x|<1/2\times 10^{-n}$$
就是说，用x近似表示$x^{\ast }$时准确到小数点之后第n位（精确度），并把从该位起到x的第一位非零数字之间的一切数字都叫做有效数字，并把有效数字的位数叫做有效数位。

例如：若将数x用规格化形式表示，则有
$$x=\pm 0\cdot a_1{a}_2{a}_3\cdots a_s\cdots a_k\times 10^m(a_1\ne 0)$$
其中，s为有效数字的位数，m为阶数。m的确定方法如下：

当$|x|\ge 1$时，则m=整数部分的位数；

当$0.1\le |x|<1$时，则$m=0$;

当$|x|<0.1$时，则$m=-$（小数点后零的个数）

若
$$|x-x^{\ast }|<\frac{1}{2}\times 10^{-n}=\frac{1}{2}\times 10^{-(s-m)}=\frac{1}{2}\times 10^{m-s},1\le s\le k\text{\hspace{1em}(1)}$$
则x的有效数位为：
$$s=n+m\text{\hspace{1em}(2)}$$
应用公式（1）和（2）可以判断一个数的某一位数字是否为有效数字，从而可确定该数的有效数位。

例1：

对于数$0.08698,n=5,m=-1,s=n+m=4$

对于数$0.8698,n=4,m=0,s=n+m=4$

对于数$869.8,n=1,m=3,s=n+m=4$

对于数$8698,n=0,m=4,s=n+m=4$

一个数精确到小数点后n位，并不表明它一定有n位有效数字。应注意有效数位s的计算。

例2：对于圆周率$\pi =3.1415926\cdots$，用四舍五入取小数点后4位时，近似值为$3.1416$，此时
$$|\pi -3.1416|\le \frac{1}{2}\times 10^{-4}$$
即有$m=1,n=4$,所以有效数位为$s=n+m=5$，绝对误差限为$\frac{1}{2}\times 10^{-4}$

如果取$\pi =3.14$，则$m=1,n=2$，有效数位为$s=n+m=3$，其绝对误差限为$\frac{1}{2}\times 10^{-2}$

例3：设$x^{\ast }=8.000033$，若取$x=8.0000$,则
$$|x-x^{\ast }|=0.000033=0.33\times 10^{-4}<\frac{1}{2}\times 10^{-4}=\frac{1}{2}\times 10^{1-5}$$
于是有$m=1,s=5,n=s-m=5-1=4$。所以$8.0000$的有效数字为5位，它精确到小数点后4位

例4：设$x^{\ast }=30.4500364\cdots$若取$x=30.45004$，则
$$|x-x^{\ast }|=0.0000036=0.36\times 10^{-5}<\frac{1}{2}\times 10^{-5}=\frac{1}{2}\times 10^{2-7}$$
所以，$30.45004$的有效数字为7位，它精确到小数点后5位。

相对误差和有效数位之间的关系

根据有效数字和相对误差的概念可以得出两者之间的关系。

定理2：若近似数$x=\pm 0.a_1{a}_2{a}_3\cdots a_{s-1}{a}_s\times 10^m(a_1\ne 0)$具有s位有效数字，则其相对误差为：
$$e_r(x)\le {ϵ}_r=\frac{1}{2a_1}\times 10^{-s+1}$$
例1：求$\sqrt{6}$的近似值，使其相对误差不超过$\frac{1}{2}\times 10^{-3}$

解：因为$\sqrt{6}=2.4494$，取$a_1=2$，设$\sqrt{6}$取s位有效数字，则
$$\begin{gathered} \frac{1}{2a_1}\times 10^{-s+1}=\frac{1}{2\times 2}\times 10^{-s+1}=\frac{1}{2}\times 10^{-3} \\ s=3\cdots ,故s\ge 4,\sqrt{6}\approx 2.449 \end{gathered}$$
定理3：若近似数$x=\pm 0.a_1{a}_2{a}_3\cdots a_s\times 10^m（a_1\ne 0）$的相对误差
$$e_r(x)\le \frac{1}{2a_1+1}\times 10^{-s+1}$$
则该近似数有s位有效数字。

从误差和有效数字的定义以及上述两个定理可以看出：绝对误差与小数点后的位数（数的精确度）有关；相对误差与有效数字的位数有关。

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