【电路基础】第1章-电路的基本规律（2）

0 开始学习之前

    这个专栏主要讲《电路基础》的相关知识，我会不定期地更新专栏内容。这门课电子信息相关专业学生的必修课程，重要程度不言而喻！这个专栏的定位在于辅助学习，它拥有课程完整的知识结构，但它绝对无法代替学校的教学，大家可以把它当作一份笔记来学习！
    此外，推荐考西电研究生专业课含电路基础的同学参考学习，但请结合考纲自行评估重点来学习，不要全部都看浪费时间！
    最后，请尊重他人的劳动成果，未经作者允许禁止转载。
    配套用书：王松林-电路基础第三版-西安电子科技大学出版社，王松林-电路基础教学指导书-西安电子科技大学出版社。
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5 电源

    电源是有源的电路元件，它是各种电能量（电功率）产生器的理想化模型。电源可分为独立电源和受控源两类。

5.1 独立源

5.1.1 电压源

    一个二端元件，如其端口电压总能保持为给定的电压 $u_s(t)$，而与通过它的电流无关，则称其为电压源。电压源的端口电压 $u$ 与电流 $i$ 可表示为：$$\{\begin{array}{rlr}& u\left(t\right)=u_s\left(t\right)& \\ & i\left(t\right)=任意值& \end{array}\forall t\text{\hspace{1em}(5-1)}$$
    电压源的符号如下图所示，在电路图中我们统一使用国际符号。

5.1.2 电流源

    一个二端元件，如其端口电流总能保持为给定的电流 $i_s(t)$，而与通过它的电压无关，则称其为电流源。电流源的端口电压 $u$ 与电流 $i$ 可表示为：$$\{\begin{array}{rlr}& u\left(t\right)=任意值& \\ & i\left(t\right)=i_s\left(t\right)& \end{array}\forall t\text{\hspace{1em}(5-2)}$$
    电流源的符号如下图所示。

5.2 电路中的参考点

    在电路分析中，常常指定电路中某节点为参考点，计算或测量其它各节点对参考点的电位差，称为各节点的节点电压。下面用一道例题来看一下指定了参考点后对电路分析的作用。
    例3 如下图(a)所示的电路，已知 $U_{s1}=6V$，$U_{s2}=3V$，$R_1=2\Omega$，$R_2=6\Omega$，$R_3=6\Omega$，求节点 $b$ 的节点电压 $U_b$。

    解：将 $d$ 点设为参考点，电路图可简化为上图(b)所示
        则对 $b$ 点由KCL有：$I_1=I_2+I_3$
        由图可知：$U_{ab}=U_{s1}-U_b=I_1{R}_1$
                  $U_{bc}=U_b-(-U_{s2})=I_2{R}_2$
                  $U_b=I_3{R}_3$
        联立以上4个方程可解得：$U_b=3V$

5.3 受控源

    非独立电源是指电压源的电压或电流源的电流不是给定的时间函数，而是受电路中某支路电压或电流控制的，因此也称为受控源。
    受控源是有源二端口元件，一个是电源端口，另一个是控制端口。电源端口体现为源电压 $u_s$ 或源电流 $i_s$ ，能产生电功率；控制端口体现为控制电压 $u_c$ 或控制电流 $i_c$ 。受控源二端口模型如下图所示。

    需要特别注意的是，控制端口上的功率恒为零。所以在电路图中，我们通常省略控制端口，只画电源端口，因此在电路图上看起来受控源是一端口元件，实际上它是二端口元件。
    根据控制量是电压还是电流，受控的电源是电压源还是电流源，受控源有四种基本形式：

     - 压控电压源(VCVS)$$\{\begin{array}{rlr}& u_s\left(t\right)=\mu u_c\left(t\right)& \\ & i\left(t\right)=0& \end{array}\forall t\text{\hspace{1em}(5-3a)}$$
     - 流控电压源(CCVC)$$\{\begin{array}{rlr}& u_s\left(t\right)=r{i}_c\left(t\right)& \\ & i\left(t\right)=0& \end{array}\forall t\text{\hspace{1em}(5-3b)}$$
     - 压控电流源(VCCS)$$\{\begin{array}{rlr}& i_s\left(t\right)=g{u}_c\left(t\right)& \\ & i\left(t\right)=0& \end{array}\forall t\text{\hspace{1em}(5-3c)}$$
     - 流控电流源(CCCS)$$\{\begin{array}{rlr}& i_s\left(t\right)=\alpha i_c\left(t\right)& \\ & i\left(t\right)=0& \end{array}\forall t\text{\hspace{1em}(5-3d)}$$

    式中，$\mu 、r、g、\alpha$是控制系数。受控源的符号如下图所示。

6 电路等效

    对于结构、元件参数完全不同的两部分电路 $B$ 和 $C$，如下图所示。若 $B$ 和 $C$ 具有完全相同的端口电压电流关系(VCR)，则称电路 $B$ 和 $C$ 互为等效电路。

    相等效的两部分电路 $B$ 和 $C$ 在电路中可以相互替换，替换前和替换后的电路对任意外部电路中的电压、电流、功率是等效的。电路等效的目的是简化电路的分析和计算

6.1 电阻的串联和并联等效

    电阻的串并联等效其实在高中的时候就学过，这里做一个简单的复习就好。

6.1.1 串联等效

    电阻串联等效：$$R_{eq}=R_1+R_2+\cdots +R_n\text{\hspace{1em}(6-1)}$$

    一个串联电路如上图所示，电阻串联时，各电阻的电压为：$$u_k=\frac{R_k}{R_{eq}}u\text{\hspace{1em}(6-2)}$$式(6-2)就是我们熟知的分压公式。

6.1.2 并联等效

    电阻并联等效：$$G_{eq}=G_1+G_2+\cdots +G_n或\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots +\frac{1}{R_n}\text{\hspace{1em}(6-3)}$$

    一个并联电路如上图所示，电导并联时，各电导的电流为：$$i_k=\frac{G_k}{G_{eq}}i\text{\hspace{1em}(6-4)}$$式(6-4)就是我们熟知的分流公式。
    最常遇到的是两个电阻并联的情形，为了简便，常用符号“$//$”表示两个元件并联，其等效电阻为：$$R_{eq}=R_1//R_2=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}\text{\hspace{1em}(6-5)}$$

6.2 电阻 $\text{Y}$ 形电路与 $△$ 形电路的等效变换

    由电阻 $R_1$、$R_2$、$R_3$ 形成的 $\text{Y}$ 形电路和由电阻 $R_{12}$、$R_{23}$、$R_{31}$ 形成的 $△$ 形电路如下图所示。

    因为书本上有详细的推导过程，这里就不再讨论推导过程，如果对推导过程有问题可以联系我讨论，这里直接给出结论。
     $\text{Y}$ 形电路向 $△$ 形电路进行等效：$$\{\begin{array}{r}{R}_{12}=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_3}\\ R_{31}=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_2}\\ R_{23}=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_1}\end{array}\text{\hspace{1em}(6-6)}$$
     $△$ 形电路向 $\text{Y}$ 形电路进行等效：$$\{\begin{array}{r}{R}_1=\frac{R_{31}{R}_{12}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\ R_2=\frac{R_{12}{R}_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\ R_3=\frac{R_{23}{R}_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\end{array}\text{\hspace{1em}(6-7)}$$
     $\text{Y}$ 形电路和 $△$ 形电路相互等效的公式如果强行去背可能比较困难，下面分享一个记忆的方法：

1. $\text{Y}$ 形电路电阻是单下标，$△$ 形电路的电阻是双下标；
2. $\text{Y}$ 形电路向 $△$ 形电路进行等效，分子不变（所有电阻两两相乘的和），分母的下标是缺的数字；
3. $△$ 形电路向 $\text{Y}$ 形电路进行等效，分母不变（所有电阻的和），分子是含相应下标数字的电阻的乘积。

     举个例子：
         $\text{Y}$ 形电路向 $△$ 形电路进行等效：
            1. $△$ 形电路的电阻是双下标
            2. 分子不变，是所有电阻两两相乘的和，即：$R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1$
            3. 分母的下标是缺的数字，所以求 $R_{12}$ 时对应的分母是 $R_3$
            4. 所以 $R_{12}=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_3}$
        $△$ 形电路向 $\text{Y}$ 形电路进行等效：
            1. $\text{Y}$ 形电路电阻是单下标
            2. 分母不变，是所有电阻的和，即：$R_{12}+R_{23}+R_{31}$
            3. 分子是含相应下标数字的电阻的乘积，所以求 $R_1$ 时对应的分子是 $R_{12}{R}_{31}$
            4. 所以 $R_1=\frac{R_{12}{R}_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$

6.3 等效电阻

    对于一个一般电路，如果有一个不含独立源的一端口电阻电路 $N$，如下图所示。

    设其端口电压 $u$ 与电流 $i$ 为关联参考方向，则其端口等效电阻可定义为：$$R_{eq}\stackrel{def}{=}\frac{u}{i}\text{\hspace{1em}(6-8)}$$
    如果该端口是输入端口，则称其为输入电阻；如果该端口是输出端口，则称其为输出电阻。
    

7 含独立源电路的等效

7.1 独立源的串联和并联

    电压源的串联如下图所示：

    电压源的并联如下图所示：

    电流源的串联如下图所示：

    电流源的并联如下图所示：

    以上4种都是较为容易接受的，下面给出几种不太常见的。
    电流源与电压源或电阻串联如下图所示：

    电压源与电流源或电阻并联：

7.2 实际电源的两种模型及其等效变换

    实际电源有两种模型，一种是电压源串联电阻，另一种是电流源并联电阻。两种模型之间可以进行等效变换，如下图所示。

    其中，两种模型之间的等效变换关系为：$$\{\begin{array}{rlr}& I_s=\frac{U_s}{R_s}& \\ & U_s=R_s{I}_s& \end{array}\text{\hspace{1em}(7-1)}$$
    值得说明的是，受控源电压源与电阻串联和受控电流源与电阻并联也可用上述方法进行等效变换，但在变换过程中，控制量必须保留。

传送门

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