PDH稳频技术

PDH技术历史来源
PDH技术是一种主动锁频技术，是目前激光稳频系统中性能最好的手段之一。八十年代，Drever与Hall教授参加LIGO引力波探测项目过程中，采用了F-P腔稳频的激光系统代替了Herriott的光学延迟线稳频方案，并成功将Pound在1946年提出的微波稳频方案扩展应用至光频领域，得到了激光线宽为87Hz的 超稳激光，因此人们用Pound、Drever和Hall这三位科学家的名字来命名这项稳频技术，即PDH稳频技术。
PDH稳频技术

PDH稳频系统原理图


根据框图简单说一下PDH技术，激光器输出频率为ω的激光，然后经过EOM晶体（electric-optical modulator）电光调制器，对激光光场进行射频电光相位调制，然后将调制后的激光信号经过偏振分束棱镜（PBS）与四分之一波片(λ/4)进入光学腔，然后与光学腔谐振，然后通过反射到光电探测器，偏振分束棱镜（PBS）与四分之一波片(λ/4)的作用就是让腔反射光进入探测器。然后对反射光信号进行相位解调，得到反射光中的频率失谐信息，产生误差信号，然后通过低通滤波器和比例积分电路处理后，反馈到激光器的压电陶瓷或者声光调制器等其他响应器件，进行频率补偿，最终实现将普通激光锁定在超稳光学腔上。

简单来，PDH技术是一种主动反馈调节技术，核心是产生误差信号，利用产生的误差信号来实现对激光器频率的控制。

PDH技术详细推导过程
首先单频激光光场为

经过相位调制，入射进入光学腔之前的激光光场为

Eo为光场强度，ω为光的角频率，β为调制深度，Ω为调制频率。

激光光场可由贝塞尔函数表示，n阶边带，强度与调制深度服从n阶贝塞尔函数，如图可看出当调制深度较小时，二阶边带的强度相比于一阶可以忽略不记

即β<1时，相位调制后的光场用贝塞尔函数可以表示为，

其中Ji表示第i阶贝塞尔曲线，光的总功率为P0=E0E0*，因为PDH技术不仅涉及光，还涉及到光电探测以及后续的误差信号等电学概念，所以光功率用P表示。那么

Pc表示载波功率，即频率为ω的初始激光的功率。

Ps表示调制边带的功率，即频率为ω±Ω的激光功率。
当β<1时，几乎所有的调制功率都在一级调制边带中，即

载波和边带包含全部光功率。

然后激光进入光学腔，在此之前要介绍一下超稳光学腔——F-P腔

F-P光学腔
以法国物理学家Fabry和Perot的名字命名。F-P光学腔由两个反射镜组成，两个反射镜之间形成多光束干涉的谐振腔，示意图如下

图中M和M‘是一对平行安装的高反射率的反射镜，当两个镜面完全严格平行时，入射光会在两个平面之间多次反射和折射，得到多束光相干后的反射光和透射光。两个镜面之间的距离记为L，中间的透明介质折射率记为n，两个镜子外侧介质的折射率记为n0,两个高反射率的平面镜的反射率记为R。

由几何知识知，相邻两束光在腔内所经历的路程差Δ为：

i为高反射率平面镜的折射角，对应的相位延迟δ为

多个反射光都是由同一束光在腔内分裂得到的，这些反射光相干叠加后在空间任何位置处的光强Ir为：

I0为入射光强，R为反射镜的反射率。

同样F-P腔透射后的平行光在任意一点的光强It为：

两式相加，得到能量守恒关系

当相位延迟为2Π的整数倍时，F-P腔内发生谐振，形成驻波模式，此时透射光强最大，简单情况下只讨论垂直入射
p为整数，然后可以推导出

上式表示当腔内发生谐振时，腔内形成了驻波模式，腔内的驻波由p个波节和波腹填满整个腔长，如下图所示

驻波模式代表了只有特定波长（2nL，2nL/2，2nL/3…2nL/p）的激光才能在F-P腔内发生相长干涉。描述F-P腔的主要特性指标有：自由光谱区(FSR)、光子在腔内的平均寿命τc、腔的共振线宽（Δνc）

自由光谱区
经上面讨论，透射光强最大需要满足相位延迟是2π的整数倍

用光的频率来表示

c为真空下的光速，在腔长L确定的前提下，两个相邻谐振模式之间的间隔：

叫做 F-P 腔的纵模间隔，也叫做自由光谱区（FSR，Free Spectral Range）。
光子寿命
F-P腔的高反镜可以将入射进腔内的光来回往复反射，将能量储存在腔内。然而，高反镜的反射率不可能达到100%，因而在反射光束的同时，仍然会有光的泄露或被吸收。以光强为 I0的光在腔内往返一次光强损耗为 I1来说：

其中δ定义为一次往返所经历的损耗（一般情况下，腔内的损耗例如透射，吸收等因素对于光在腔内的每一次往返来说其比例都是确定的，因此可以用常数δ和线性的衰减因子e−δ来表示衰减）。知道一次损耗的形式后，现在从整个时间上来看腔的衰减，假设光在腔内往返的次数为P，有知道光往返的时间为
Tt =2nL/c，则光在腔内随时间的衰减可以表示为：

腔对光的损耗每一次往返都相同，因此一束入射到腔内的光在腔中的寿命是随时间按照指数衰减的。

定义：当腔内光强变为原来光强的1/e时的时间为 Tc

入射波波长和腔的性质确定后， 就确定了因此可以叫它腔的时间常数或者光的衰减时间。而且上式可以看出，腔的损耗越小，光子寿命越长。对于腔的损耗问题，以光子的角度来思考，光强对应着还在腔内谐振的光子的数量，因此
又被称为光子（平均）寿命。当腔内只有一个光子时，经典意义上的光强的概念对应了量子力学上这个光子还在腔内谐振的概率。因此对单个光子来说，意味着这个光子在时刻只有1/e的概率还在腔内，所以把叫作光子寿命也是正确的。

F-P腔的共振线宽和精细度
通过改变安装在激光腔内的PZT的电压，就可以改变激光器输出激光波长。每改变半个波长，F-P腔的透射信号就会出现一个峰值，腔的共振线宽指的是透射峰强度从峰值下降到峰值一半时的两个频率之差，根据光子寿命的概念，腔的共振线宽为公式

腔的精细度定义为自由光谱区于F-P腔共振线宽的比值

F-P腔对光场的能量响应
F-P腔对入射光场的响应表现为光在腔内的多次往返形成的干涉

如图所示，入射光场
垂直入射到镜片1上，直接被镜片1反射回去的部分记为 ：

其中r1为镜片1对光场振幅的反射率，负号是因为半波损失引起的。透射进入腔的部分记为 ：

其中t1为镜片1对光场振幅的透射率。在没有损耗的理想情况下：

El进入腔以后在腔的另一端被镜片2反射回镜片1，再次被镜片1反射后进入下一个相同的循环。那么在腔内一个循环带来的相位差Φ。现在假定波长、折射率和腔长等因素均已经确定，也就是说特定波长的光在腔内经过一次往返后的相位变化确定。那么，经过一次往返的光场 可以表示为：

多次往返的光场每次往返增加相位因子 ,腔内的总光场Ec由El和这些被多次往返的光场共同干涉组成

其中r2为镜片2对此光场振幅的反射率；P为光场在腔内的循环次数，当P→∞时，上式变为：

需注意的是，腔的反射光场为直接被镜片1反射回去的部分记为Erd和腔内反向传播的光场Ecb经过镜片1透射出去的部分的干涉场：

其中腔内反向传播的光场 相比于 多引入一次镜片2的反射r2和一次光场往返增加的相位因子
。腔的透射场相对简单，为腔内光场透过镜片2射出的光场：

公式(1)(2)(3)描述了腔对光场的响应，因为在实际中得到的是光强信息，所以将它们转化为光强关系。引入镜片对光强的反射率R=r2的概念，并假设两个镜片的反射率相同：R1 = R2 = R → 1且 T1 = T2 = T,那么对(1)(2)(3）进行化简得到

再根据光强I=EE*，上面三个公式可写成能量公式：

根据上面三个等式，可以描绘出F-P腔对光场能量的响应。当相位因子cosΦ=0时，腔内光强和透射光强为0，反射光强等于入射光强。此时的 F-P 腔相当于一面反射镜，将所有能量都反射回去了。当相位因子 cos ϕ = 1 时光场在腔内发生谐振，此时的腔内功率 Ic = Ii/1-R。即如果给定R一个数值R=0.99，那么就有Ic=100Ii,也就是说腔内光功率是入射光功率的100倍，F-P腔使腔内功率相比于入射功率放大了100倍。若利用镀膜技术使得R的值达到0.99999以上，高反射率意味着腔内光强是入射光功率的100000倍以上，实现了放大特性，也促成了激光器的诞生。对于反射功率，腔谐振时它的值为零。而透射功率

在腔内损耗只有透射的理想情况下（对于反射率不是特别高的镜片，镜片的吸收和散射等引起的损耗和透射相比可以忽略不计。但是对于反射率接近1，例如高达99.999% 的镜片，透射和其他损耗的大小在相当的数量级，透射功率等于入入射功率。这也符合能量守恒定律。在 R → 1 的情况下，从腔内损耗 δ 和透射率的关系入手

所以

上图为没有损耗的情况下的透射光强和入射光强随入射光的频率变化的曲
线。可以看出，只有特定频率（波长）的激光才会从F-P 腔完全透射；而
且，反射率越高，透射峰越陡峭。这就是F-P腔选择频率的作用，也是利用高精细度的F-P 腔稳频的原理。

终于介绍完F-P腔，现在继续回到PDH稳频系统

从腔反射回的光场Er
由公式(5)得到腔对于光场的反射率F(ω)

然后根据这两个公式可得从腔反射回的光场Er:

反射光场打到光电探测器中，光电探测器相应的是光功率Pr=ErEr*

经过计算有，

上式第一行是直流项；第二行第三行是由载波和边带之间产生的干涉项，频率为Ω；第四行是两个边带之间的干涉项，频率为2Ω。

其中频率为 Ω的项中包含了在两个载波的参考下，激光频率偏离腔的谐振频率的失谐量。提取探测器的交流信息并且和调制频率的射频本振源混频并经过低通后（只剩频率为 Ω 的项和射频本振源混频的信号），就可以得到 PDH 技术的误差信号。

在载波和腔近似谐振的情况下，边带几乎完全被反射，
即 F (ω ± Ω) ≈ −1，此时F (ω)F (ω + Ω)|* − F (ω)*F (ω − Ω)| ≈ 2iIm[F (ω)]，

即可以忽略（8）式中的cosΩt项，只剩下sin Ωt 项。因此可以得到混频后（混频时需要使得本振源的信号和反射信号的相位差保持 90◦，以确保得到最大的误差信号。这可以通过在某一臂加入移相器或者简单的加长射频传输电缆的长度实现。）的误差信号为：

可以看出，若激光频率和光学腔共振频率一致时，PDH信号经过零点，当激光频率大于或小于光学腔谐振频率时，解调信号或正或负，满足鉴频特性，可以作为误差信号使用。

在腔接近谐振时,可以将（7）式变化为

其中 δν 为激光频率偏离腔的谐振频率的失谐量，∆νc 为腔的线宽。于是公式（9）可简化为：

其中D定义为：

称为 PDH 信号的鉴频斜率（这里的单位应该是 W/Hz。在很多文章中经常看到的单位是 V/Hz，这是因为它是从示波器上直接读出的单位。这里的所有推导都是基于光强，没有考虑光电效应的转化和后续电路。示波器上的读数可以用这里推出的鉴频斜率乘以探测器的负载电阻和电压放大倍数进行计算。）从中可以看出，鉴频斜率主要取决于光功率，调制深度，以及腔的线宽。

光功率的选择要考虑腔的频率随光功率的变化，因此不能依靠过大的光功率提高鉴频斜率。

从调制深度入手考虑，通过提高调制深度来提高误差信号的斜率，计算得到最佳的调制深度约1.08rad，但实际使用中，如果要达到如此高的调制深度，需要用较大功率的EOM，噪声功率放大器发热大以及大的剩余幅度调制等问题，还会产生大的高频调制边带，给PDH 稳频系统带来新风险。因此，通常将调制深度控制在1rad以下。

那么只能从降低光学腔谐振线宽入手提高误差信号的斜率了。选择高精细度的超稳腔可以得到窄线宽，进而获得大的鉴频斜率。

通过光电探测得到激光和参考腔之间的频率误差信号，对激光频率进行实时补偿，使之紧紧地锁定在参考腔的谐振频率上。这其中，从误差信号的获取到最终反馈到激光频率之间，需要对误差信号进行滤波，放大，平均等处理以后才能对激光频率进行最佳的补偿，这个中间过程中需要用到环路滤波器。通过环路滤波器反馈到激光器来保证超稳激光长期稳频。