管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——应用题——路程

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路程问题是根据速度、时间、路程之间的关系，研究物体相向、相背和同向运动的问题，解决路程问题常用方法：
（1）分解。将综合性的题目先分解成若干个基本题，再按其所属类型，直接利用基本数量关系解题。
（2）图示。将题中复杂的情节通过线段图清楚地表示出来，帮助分析思考。
（3）简化。对于一些较复杂的问题，解答时可以先退一步，考虑最基本的情况，复杂的问题简单化，从而找到解题途径。
（4）找规律。有些路程问题，物体运动具有一定的规律，解题时，如果能先找出运动规律，问题就能顺利破解。
（5）沟通。将路程问题和比例问题、分数问题相互沟通，利用份数来建立联系，灵活、巧妙地找到1份的量，使难题变易。

题型1 定速路程问题

考向1 巧抓等量关系
思路：根据题干信息进行问题转化，也可利用图示法找到对应的等量关系来快速求解。

考向2 巧用速度比
思路：在路程问题中，先利用比例关系来找到等量关系，再按照份数进行求解，可以将题目进行简化，在考场上赢得宝贵的时间。

考向3 路程盈亏问题
思路：盈亏问题是两次分配产生盈亏，解题方法是（盈+亏）÷ 分配差，得到分配对象有多少个。其他类似盈亏问题的应用题也可以表述为：总量固定，一个量增减，则另外一 个量减增。

考向4 整体法求路程
思路：当不好求每一段行驶的路程的时候，可以采用整体思路利用：$总时间\times 总速度=总路程$来进行求解。

题型2 变速路程问题

考向1 同一路程变速问题
思路：解决同一路程变速问题的常用方法有：
（1）方程组法；（2）比例法；（3）法宝公式法；（4）等面积法；（5）假设法

考向2 不同路程变速向题
思路：对于不同路程的变速问题，通常要用假设转化的方法找到比例，达到化简的目的。

题型3 往返路程问题

思路：多次往返相遇问题的技巧是抓住“路程和”来建立等量关系或寻找比例关系。假设相遇次数为几次，两端的路程为S。
记住口诀：
同向往返相遇两人的路程和为$S_{路程和}=2nS$；
反向往返相遇两人的路程和为$S_{路程和}=(2n-1)S$。

题型4 假设法解路程问题

思路：路程问题中路程、速度、时间三个未知量的关系是知二求一。当有两个未知量的时候，可以利用假设法（设数法）来进行求解，此时主要求的是比例。

题型5 三个对象的路程问题

考向1 两人同向，一人反向
思路：根据题目进行画图，找到三人之间路程的等量关系。

考向2 三个对象同向
思路：看到三个对象同向同起点运动，要用比例法解决。

题型6 流水行船问题

思路：$V_{顺}=V_{静}+V_{水}，V_{逆}=V_{静}-V_{水}，V静=\frac{V_{顺}+V_{逆}}{2}，V_{水}=\frac{V_{顺}-V_{逆}}{2}$，
特别提醒：水中掉落物体（漂浮）时，从落水到发现与从发现到找到的时间相同！

题型7 跑圈问题

思路：记住口诀：同向时“路程差”为一圈，反向时“路程和”为一圈；起点相遇找速度比；不同起点第一次相遇和追及当成直线型，第二次开始当成“同起点”的跑圈问题。

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1. 路程s，速度v和时间t之间的关系：$s=vt，t=\frac{s}{v}，v=\frac{s}{t}$
2. 相对速度：同向而行，相对速度=$|V_{甲}-V_{乙}|$；相向而行，相对速度=$V_{甲}+V_{乙}$
3. 速度相同，时间比等于路程比，时间相同，速度比等于路程比；路程相同，速度比等于时间的反比
4. 顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度
5. 追及与相遇问题：
   ①直线型路程：
   相遇：$S_{相遇}=S_{甲}+S_{乙}=(v_{甲}+v_{乙})t$；
   追及：$S_{追及}=S_{甲}-S_{乙}=(v_{甲}-v_{乙})t$
   ②圆圈型路程：
   同向运动：同一起点出发，顺时针方向跑，第一次在B点遇上（$V_{甲}＞V_{乙}$）。等量关系（经历时间相同）：$S_{甲}-S_{乙}=S$。甲乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若相遇n次，则有$S_{甲}-S_{乙}=nS；\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{nS+S_{乙}}{S_{乙}}$。
   
   逆向运动：同一起点出发，相反方向跑，第一次在B点遇上。等量关系：$S_{甲}+S_{乙}=S$。甲乙每相遇一次，甲与乙路程之和为一圈，若相遇n次，则有$S_{甲}+S_{乙}=nS；\frac{V_{甲}}{V_{乙}}=\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{nS-S_{乙}}{S_{乙}}$
   

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路程问题是联考常考题型，题型难度属于中等偏上，以直线型和圆圈型两大类型为主线，以相遇与追及为模板。
1.路程s、速度v、时间t之间的关系：
$s=vt，t=\frac{s}{v}，v=\frac{s}{t}$
2.对于直线型的路程问题：
（1）相遇
$s_{相遇}=S_1+S_2=v_{1}t+v_{2}t=(v_1+v_2)t$
（2）追赶
$s_{追及}=S_1-S_2=v_{1}t-v_{2}t=(v_1-v_2)t$
3.对于圆圈型的路程问题：（从同一起点同时出发，周长为s，相遇一次时间为t）
反向运动：$S=S_1+S_2=v_1+v_{2}t=(v_1+v_2)t$；
同向运动：$S=S_1-S_2=v_{1}t-v_{2}t=(v_1-v_2)t$。
4.顺水、逆水问题：
$v_{顺水}=v_{船}+v_{水}；v_{逆水}=v_{船}-v_{水}$
5.相对速度（两个物体运动时，可将一个作为参照物，看成相对静止的）
同向运动：$v_{同向}=v_1-v_2$；
相向运动：$v_{相向}=v_1+v_2$。
【评注】路程问题主要涉及路程、时间、速度三者的关系，一般以时间或路程为等量关系来列方程路程又分为直线型、圆圈型、顺水逆水、相对速度等题型。
此外，路程问题可延伸至工程问题：路程可以看做工作量，时间可以看做工作时间，速度可以看做工作效率。

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（一）直线路程问题
一、考点讲解

1. 基本公式
   $s=vt，v=\frac{s}{t}，t=\frac{s}{v}$
2. 直线相遇公式
   $S_{相遇}=S_1+S_2=v_{1}t+v_{2}t=(v_1+v_2)t$
3. 直线追及公式
   $S_{追及}=S_1-S_2=v_{1}t-v_{2}t=(v_1-v_2)t$

二、考试解读

1. 路程问题在考试中出现的频率较高，做路程问题，首先根据题意要画出示意图，标注已知对象的相关信息，其次建立等量关系，常用的是时间或路程为基本等量式。
2. 路程问题的重点在于设未知数和找等量关系，尤其多对象运动问题，对考生要求较高。
3. 难点在于变速运动的路程问题及图像的路程问题。
4. 考试频率级别：高。

三、命题方向

1. 直线相遇
   思路：两车相向而行，相遇时间=路程和÷速度和或相遇时间=路程差÷速度差。
2. 直线往返相遇
   思路：对于多次往返相遇的题目，要根据两人的路程关系列方程求解。
3. 直线追及
   思路：两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）做同向运动，在后面的行进速度要快些，在前面的行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫作追及问题，根据追及时间与路程的关系列方程，所用公式为：路程差 = 速度差×追及时间.
4. 直线变速
   思路：变速运动难度较大，主要根据速度变化前后的时间关系列方程。

（二）水中行船问题
一、考点讲解

1. 船顺流时速度：$v_{顺}=v_{船}+v_{水}$
2. 船逆流时速度：$v_{逆}=v_{船}-v_{水}$

二、考试解读

1. 水中行船问题要看清楚水流方向，分清是顺水还是逆水。
2. 难点在于水流何时对船有影响。
3. 考试频率级别：中。

三、命题方向

1. 与水速有关
   思路：单一物体在水上运动时，时间与水速有关。
2. 与水速无关
   思路：多个物体在水中运动，无论是相遇还是追及，都与水速无关。因为水速抵消了。

（三）相对速度问题
一、考点讲解

1. 相对速度：$v=v_1+v_2$
2. 相对速度：$v=v_1-v_2$

二、考试解读

1. 当出现多个物体同时运动时，将某个物体看成“静止”的，当作参照物，利用相对速度分析会比较简便。
2. 路程问题的难点在于运动的方向，对考生要求较高。
3. 考试频率级别：低。

三、命题方向

1. 队伍行军
   思路：可以将队伍看成静止的，通讯员转化为相对运动分析即可。
2. 火车与行人
   思路：将行人看成静止的，然后火车转化为相对运动分析即可。
3. 发车间隔
   思路：将行人看成静止的，然后公交车转化为相对运动分析即可。

（四）火车过桥问题

一、考点讲解
火车过桥时间：$t=\frac{l_{车}+l_{桥}}{v}$
二、考试解读

1. 火车过桥比较简单，按公式计算即可。
2. 由于火车速度不变，时间与长度成比例，采用比例法分析比较简单。
3. 考试频率级别：低。

三、命题方向

1. 火车过桥
   思路：根据公式$t=\frac{l_{车}+l_{桥}}{v}$，列方程求解分析。

（五）圆圈路程问题

一、考点讲解

1. 同向同起点：甲乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈
   相遇时的等量关系：$s_{甲}-s_{乙}=s$（经历时间相同）
   甲、乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若相遇n次，则有$s_{甲}-s_{乙}=ns$
   $\frac{v_{甲}}{v_{乙}}=\frac{s_{甲}}{s_{乙}}=\frac{s_{乙}+ns}{s_{乙}}=1+\frac{ns}{s_{乙}}$

2. 反向同起点：每相遇一次，甲与乙路程之和为一圈
   相遇时的等量关系：$s_{甲}+s_{乙}=s$
   每相遇一次，甲与乙路程之和为一圈，若相遇n次有$s_{甲}+s_{乙}=ns$
   $\frac{v_{甲}}{v_{乙}}=\frac{s_{甲}}{s_{乙}}=\frac{ns-s_{乙}}{s_{乙}}=\frac{ns}{s_{乙}}-1$

【解题技巧】在做圆圈型追及相遇题时，求第k次相遇情况，可以将第k-1次相遇看成起点进行分析考虑。

二、考试解读

1. 圆圈型路程问题比较难，容易出错，但考试只要求掌握定速的圆圈型问题。
2. 难点在于运动方向以及是否同起点运动，对考生要求较高。
3. 考试频率级别：低。

三、命题方向

1. 同起点
   思路：如果起点相同，当同向运动时，每相遇一次，路程差为一圈；当反向运动时，每相遇一次，路程和为一圈。
2. 不同起点
   思路：如果两人不同起点，则第一次相遇后，就变成同起点的运动了。

（六）图像路程问题

一、考点讲解
$s=vt，v=\frac{s}{t}，t=\frac{s}{v}$

1. v-s 图
   （1）匀速运动（见图2-3）
   （2）变速运动（见图2-4，图2-5）
   
   
   
2. s-t 图
   （1）匀速运动（见图2-6，图2-7）
   
   
   （2）加速运动（见图2-11，图2-12）
   

二、考试解读

1. 利用图像描述物体的速度、路程、时间关系。首先要看清横坐标、纵坐标分别表示什么物理量，再从图像中读出速度、路程或时间的大小。
2. 路程问题的难点在于根据图像区分是匀速运动还是非匀速运动。
3. 考试频率级别：低。

三、命题方向

1. v-s 图
   思路：对于v-s 图，如果图像是水平的直线，则表示匀速运动，其他直线或曲线表示变速运动。

2. s-t 图
   思路：对于s-t 图，如果图像为直线时，表示匀速运动，直线的斜率表示速度，当斜率为0时，物体静止；如果图像为曲线，表示变速运动。

3. v-t 图
   思路：对于v-t 图，当图像为直线时，直线的斜率表示加速度，当斜率为零时，表示匀速运动，斜率不为零时，表示匀变速运动；当图像为曲线时，表示非匀变速运动。

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一、普通匀速直线运动问题：路程=速度×时间；平均速度=总路程÷总时间
【解题提示】根据题意画出简单的示意图，设未知数列方程求解，同时注意路程、时间、速度三者中的恒定量，将问题转化为比例关系求解。
注：行程问题中常用的比例关系：
① 时间相同时，速度比等于路程比；
② 速度相同时，时间比等于路程比；
③ 路程相同时，速度比等于时间的反比。

二、行程问题中的相遇、追赶题型
1 直线型相遇、追赶问题
【解题提示】此类问题比较常见，根据题意画出简单示意图，抓住等量关系（一般是时间和路程），列方程求解。
（1）同时相向而行
问题表述：甲、乙两人同时分别从A、B两地相向而行，在C点相遇会合。
等量关系：$S_{甲}+S_{乙}=S_{AB}\Rightarrow (V_{甲}+V_{乙})t=S_{AB}，\frac{V_{甲}}{V_{乙}}=\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{AC}{BC}(时间相同)$
（2）追赶问题
问题表述：甲、乙相距AC时甲追赶乙，并最终在B点追上乙。
等量关系：$S_{甲}-S_{乙}=S_{AC}\Rightarrow (V_{甲}-V_{乙})t=S_{AC}，\frac{V_{甲}}{V_{乙}}=\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{AB}{BC}(时间相同)$

2.圆圈型（操场）相遇、追赶问题
（1）同向（设圆周长为S）
等量关系：$S_{甲}-S_{乙}=S$（假设甲的速度较快）
如图2-3，甲 、乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若n次相遇，则有$S_{甲}-S_{乙}=nS，\frac{V_{甲}}{V_{乙}}=\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{S_{乙}+nS}{S_{乙}}$
（2）逆向
等量关系：$S_{甲}+S_{乙}=S$
如图2-4，每次相遇，甲、乙的路程之和为一圈，若相遇n次，则有$S_{甲}＋S_{乙}=nS，\frac{V_{甲}}{V_{乙}}=\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{nS-S_{乙}}{S_{乙}}$
【解题技巧】在做圆圈型追及相遇问题时，求第k次相遇情况，可以将（k-1）次相遇看成起点进行分析考虑。
三、船在水中航行问题
$V_{顺水}=V_{船}+V_{水}$；$V_{逆水}=V_{船}-V_{水}$；$V_{船}=\frac{V_{顺水}+V_{逆水}}{2}$；$V_{水}=\frac{V_{顺水}-V_{逆水}}{2}$。

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1. 基本公式
   $路程s=速度v\times 时间t，$$速度v=\frac{路程s}{时间t}，$$时间t=\frac{路程s}{速度v}$

2. 相遇和追及
   相向运动的两物体相对速度为两速度之和，同向运动的两物体相对速度为两速度之差。
   $相遇时间=\frac{相遇距离}{速度之和v_1+v_2}$
   $追及时间=\frac{追及距离}{速度之差v_1-v_2}$

3. 环形道路
   两人自同一起点沿环形跑道相向/同向行进，直至相遇，有如下等量关系：
   相向时：甲路程 + 乙路程 = 环形周长
   同向时：快者路程 ― 慢者路程 = 环形周长
   事实上，相向跑圈每相遇一次，两人路程之和为环形跑道周长；同向跑圈每相遇一次，快者比慢者多跑一个环形跑道周长。

4. 顺水/逆水行船
   逆水行船时：实际速度为$v_{船}-v_{水}$；顺水行船是：实际速度为$v_{船}+v_{水}$。

5. 火车错车/过桥过洞
   相向错车：$t=\frac{车长之和l_1+l_2}{速度之和v_1+v_2}$
   同向超车：$t=\frac{车长之和l_1+l_2}{速度之差v_1-v_2}$
   火车过桥/过山洞：$t=\frac{l_{山洞/桥梁}+l_{火车}}{v}$

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1. 相遇问题，反向行驶，第一次遇见路程和等于总路程
   相遇时间=总路程 ÷ （甲速 + 乙速）
   总路程 = （甲速 + 乙速）× 相遇时间
2. 追及问题，每追上一次表示速度快的比慢的多跑一圈
   追及时间 = 追及路程 ÷ （快速 - 慢速）
   追及路程 = （快速 - 慢速）× 追及时间

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解题提示：根据题意画图，找等量关系（一般是时间和路程），列方程求解。
常见类型有：
类型一：

A 的行程 + B 的行程 = 甲、乙两地的距离
相遇过程：相遇时间=$\frac{距离之和}{速度之和}$

类型二：同向
（圆圈型）每相遇一次，甲比乙多跑一圈

类型三：逆向

解题技巧：在做圆圈型追及相遇题时，在求第 k 次相遇情况时，可以将 k-1 次相遇看成起点进行分析考虑。

🐟——应用题——路程，工程

🐟——推导

变速公式：
【证明】设同一段路程s，先后用$v_1，v_2$两段速度通过，时间差为△t ，则$\frac{s}{v_1}-\frac{s}{v_2}=△t\Rightarrow \frac{s(v_2-v_1)}{v_1{v}_2}=△t\Rightarrow \frac{s\cdot △v}{v_1{v}_2}=△t$，即$v_1{v}_2=\frac{s\cdot △v}{△t}$