解析几何北大第五版复习提纲

第一章

两向量向量积

• 向量积定义：a x b =|a||b|sin
• 几何意义：平行四边形面积
• 性质：
  • 两向量共线的充分必要条件是 a x b = 0
    • 
  • 数乘：
    • 
  • 分配律：
    • 
• 求法：行列式
  • 

三向量混合积

• 混合积定义：对于一个六面体,边长为a,b,c，则其体积为
• 性质：
  • 三向量共面的充分必要条件是混合积为0
  • 交换律 
    • 
    •  
• 求法：行列式
• 拓展：cram法则

三向量的双重向量积

• 求法：
• 
• 拓展：
  • 拉格朗日恒等式
  • jacobi恒等式
  • 

第二章

平面曲线的方程

• 曲线方程：点满足某方程，点的集合构成曲线
• 向量式参数方程：向径由某个参数决定
• 常见参数方程：
  • 外摆线：
    • 
  • 内摆线：
    • 
  • 渐展线：
    • 

曲面的方程

•  曲面的方程：满足方程的点（x,y,z）在曲面上，曲面上的任意一点（x,y,z）满足方程
• 向量式参数方程：空间中向径由2个参数决定的
• 坐标系：
  • 直角坐标系：
  • 球坐标系：
  • 柱坐标系：
  • 

空间曲线的方程

• 空间曲线的方程：两个面方程的交集
• 弹簧线方程：

第三章

平面的方程

• 向量式：
• 点位式：
• 三点式：

• 一般式：
• 截距式：
• 点法式：
• 坐标法式：

平面与点的相关位置

• 离差：
  • 定义：
  • 定理：
• 空间划分：
  • 

两平面的相关位置

• 二面角：
• 相交：
  • 垂直：
• 重合：
  • 

空间直线的方程

直线与平面的相关位置

空间直线与点的相关位置

空间两直线相关位置

平面束

第四章

柱面

• 柱面：在空间直角坐标系内，空间中定曲线与平行于一条轴的直线相交的生成的曲面叫柱面
  • 母线：平行于轴且在柱面内的直线
  • 准线：定曲线
• 方程：
• 定理：柱面方程中缺省哪个值，方程就平行于哪个轴
• 投影柱面、投影曲线：对应面和对应缺省轴的柱面方程的交

锥面

• 锥面：空间中过一定点的直线束与定曲线相交形成的曲面叫作锥面
  • 母线：锥面中过定点的直线
  • 准线：定曲线
• 一个关于x,y,z的齐次方程是过原点的锥面
  • 证明：
  • 推论：关于x-x0,y-y0,z-z0的齐次方程是过x0,y0,z0的锥面

旋转曲面

• 旋转曲面：在直角坐标系中，一曲线绕一直线转动形成的曲面。
  • 母线：绕转的曲线
  • 准线：垂直母线的纬圆
• 方程：
• 绕轴旋转的曲线方程：曲线绕哪轴，哪轴不变，另一变量利用其余变量的和的平方根代替

4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

• 直纹曲面：由一族直线旋转而成的曲面，有椭圆、锥面、单叶双曲面和双曲抛物面
• 直母线定义：可以通过一族直线旋转得到曲面，该族直线就是直母线
• 方程：
  • 单叶双曲面：
    • 直母线方程：
  • 
    • 推论：
    • 
  • 双曲抛物面：
    • 直母线方程：
    • 
    • 问题：此处为何没有用两个参数表示？
    • 
• 定理：
  • 单叶双曲面的直母线相交且共面
  • 
• • 单叶双曲面的同族直母线异面，双叶抛物面的同族全体直母线平行于同一平面

二次曲线的一般理论

一般理论

• 实点：(x,y)坐标都是实数
• 虚点：(x,y)其中一个坐标是虚数
• 共轭虚点：坐标分别对应共轭，共轭虚点的中点是实点
• 复点：实点和虚点都是复点
• 二次曲线方程：
• 直线方程：
• 方程合并：
• 相关标记：
•    
• 

二次曲线与直线相关位置

• 二次曲线与直线合并方程：
• 位置关系：

二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

• 渐近方向：当(x,y)=0时，X：Y为渐近方向
  • 渐近方向求解：
    • 
  • 
  •  求解分析：
•  中心：二次曲线的对称中心
  • 中心求解方法：
  • 
  • 
  • 三种二次曲线：
  • 
• 渐近线：过二次曲线中心且方向为渐近方向的直线
  • 渐近线定理：二次曲线的渐近线要么与二次曲线无交点，要么整条渐近线都在二次曲线上
  • 证明：
  • 
  • 所以根据二次曲线和直线位置关系知，如果F(x0,y0)=0则渐近线在二次曲线上，否则与二次曲线无交点。

二次曲线的切线

• 切线定义：直线与二次曲线相交于一个重合的点，这个点就是切点，直线就是切线；如果直线全部在二次曲线上则直线上任意一点都是切点。
• 切线求法：
• 奇异点、正则点：
• 切线公式：

二次曲线的直径

• 直径：二次曲线共轭弦的中点连成一条直线叫直径。 

  

  • 条件：弦方向不能是渐近方向，否则不可能有两个交点
  • 相关推导：
  • 分类：
• 共轭直径、共轭弦：一组平行弦的中点的轨迹叫作直径，这组平行弦叫共轭弦。与共轭弦方向相同的直径与共轭弦的直径组成一对共轭直径。
  • 性质：
    • 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是非渐近方向，非中心二次曲线的渐近方向的共轭方向是共轭方向。
      • 
    •  共轭方向间满足关系：
      • 推导： 展开即可。

二次曲线的主直径和主方向

• 主直径：弦与直径互相垂直，则该直径为主直径。主直径的共轭直径也是主直径。
  • 求法推导：
• 
• 性质：
  • 特征方程的根都是实数
  • 

二次曲线的方程化简与分类

• 直线方程
  • 移轴：

  • • 
  • 转轴：
    • 
    • 
• 二次曲线
  • 移轴：
    • 
  • 转轴：
    • 
    • 转轴角：
      • 
    • 转轴方向实际上是主方向
      • 
• 分类： 
  • 
  • 
  • 

应用不变量化简二次曲线方程

• 不变量、半不变量：二次曲线中的系数经过某个函数没有发生变化，这个函数叫不变量，只是经过转轴不变叫半不变量。
• 存在区域：
  • 移轴：
  • 
  • 转轴：
  • 
  • 
• 线心二次曲线在移轴下K1也是不变量
  • 
• 应用不变量化简二次方程
  • 
• 利用不变量判断二次曲线类型
  •