正余弦定理解三角形的实际应用

本文主要是介绍正余弦定理解三角形的实际应用，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

导言：

1、上节课：用正余弦定理解三角形，复习回顾

2、本节课和上节课的关系：上节课用正余弦定理解三角形，是针对三角形的数学模型来求解；而本节课需要将实际问题先图形化，转化为针对三角形的数学模型来处理的问题，如果这个环节做得好，那么到此问题就完全变成了上一节的问题。

静雅凤中$\;\cdot\;$正余弦定理的实际应用考点：测量不可到达的高度问题，求三角形的边

要测量电视塔$AB$的高度，在$C$点测得塔顶$A$的仰角是$45°$，在$D$点测得塔顶$A$的仰角是$30°$，并测得水平面上的$∠BCD＝120°$，$CD＝40 m$，则电视塔的高度为__________m．

分析：设电视塔$AB$高为$x\; m$，则在$Rt\Delta ABC$中，由$\angle ACB＝45°$得$BC＝x$. 在$Rt\Delta ADB$中，由$\angle ADB＝30°$，得$BD＝\sqrt{3}x$. 在$\Delta BDC$中，由余弦定理，得 $BD^2＝BC^2＋CD^2－2BC\cdot CD\cdot cos120°$，即$(\sqrt{3}x)^2＝x^2＋40^2－2\cdot x\cdot 40\cdot cos120°$，解得$x＝40$，所以电视塔高为$40 m$.

反思总结：①解三角形问题时，常常需要将立体问题平面化； ②当已知条件不在一个三角形中时，我们常常将其转化到一个三角形中，再求解即可。静雅凤中$\;\cdot\;$正余弦定理的实际应用考点：测量不可到达的距离问题，求三角形的边

如图$A、B$两点在河的两侧，且$A、B$两点均不可到达，如果要测量$AB$的距离，测量者在河岸边选定了两点$C、D$，并测得$CD=\cfrac{\sqrt{3}}{2}km$，$\angle ACB=\alpha=45^{\circ}$，$\angle ACD=\beta=60^{\circ}$，$\angle CDB=\gamma=30^{\circ}$，$\angle ADB=\delta=30^{\circ}$，求$A、B$两点间的距离。

分析：在$\Delta ACD$中，由$\angle ADC=\delta+\gamma=60^{\circ}$，$\angle ACD=60^{\circ}$，$CD=\cfrac{\sqrt{3}}{2}km$，可得边$AC=CD=\cfrac{\sqrt{3}}{2}km$；在$\Delta BCD$中，由$\angle BDC=30^{\circ}$，$\angle BCD=105^{\circ}$，$CD=\cfrac{\sqrt{3}}{2}km$，故由正弦定理，可得$BC=\cfrac{DC}{sin\angle DBC}\cdot sin\angle BDC=\cfrac{\sqrt{6}}{4}$；在$\Delta ABC$中，由$\angle ACB=45^{\circ}$，$AC=\cfrac{\sqrt{3}}{2}km$，$BC=\cfrac{\sqrt{6}}{4}$，由余弦定理可得，$AB^2＝BC^2＋AC^2－2BC\cdot AC\cdot cos45°$，解得$AB=\cfrac{\sqrt{6}}{4}km$

反思总结：1、怎么分析？由果溯因，题目要求解$AB$的长度，需要将其放置到一个三角形中，图中能包纳$AB$在内的三角形有三个，分别是$\Delta ABC$和$\Delta ABD$和$\Delta AOB$，首先能排除的是不选$\Delta AOB$，原因是已知条件都用不上。接下来，选择的这两个三角形，从已知数据的角度看是对称的，所以随便选一个，比如$\Delta ABC$。在此三角形中，$\angle ACB=45^{\circ}$能用上，自然还得知道边$AC$和$BC$，要求解边$AC$，也得选个三角形，比如选$\Delta ACD$，用正弦定理求解$AC$即可；要求解边$BC$，也得选个三角形，比如选$\Delta BCD$，用余弦定理求解$BC$即可；到此，回到$\Delta ABC$中，用余弦定理就可以搞定问题了。 2、当已知条件转化到一个三角形中时，问题就变得迎刃而解了。静雅凤中$\;\cdot\;$正余弦定理的实际应用题源：2017淄博模拟；考点：测量角度问题，求三角形的角

如图，在海岸$A$处，发现北偏东$45^{\circ}$方向距离$A$处$(\sqrt{3}-1)$海里的$B$处有一艘走私船，在$A$处北偏西$75^{\circ}$方向，距离$A$处$2$海里的$C$处的缉私船奉命以$10\sqrt{3}$海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以$10$海里/时的速度从$B$处向北偏东$30^{\circ}$方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求所需时间。(注：$\sqrt{6}\approx 2.449$)

设缉私船沿北偏东$\theta$的$CD$方向能最快追上，所需时间为$t$小时，并设$\angle DCB=\alpha$，在$\Delta ABC$中，$AB=\sqrt{3}-1$，$AC=2$，$\angle BAC=120^{\circ}$，则由余弦定理可知，$BC^2=AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot cos120^{\circ}=\cdots=6$，则$BC=\sqrt{6}$；在$\Delta ABC$中，由正弦定理可知，$\cfrac{AC}{sin\angle CBA}=\cfrac{BC}{sin120^{\circ}}$，代值整理得到 $sin\angle CBA=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$，则可知$\angle CBA=\cfrac{\pi}{4}$，即$B、C$两点在正东正西方向上。在$\Delta BCD$中，$BC=\sqrt{6}$，$BD=10t$，$CD=10\sqrt{3}t$，$\angle CBD=120^{\circ}$，则由余弦定理可知，$CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cdot cos120^{\circ}$，化简整理得，$200t^2-10\sqrt{6}t-6=0$，即$(20t+\sqrt{6})(10t-\sqrt{6})=0$，解得$t=\cfrac{\sqrt{6}}{10}\approx 0.245$小时$=14.7$分钟。此时，由正弦定理可得，$\cfrac{BD}{sin\angle DCB}=\cfrac{CD}{sin120^{\circ}}$，即$\cfrac{10t}{sin\alpha}=\cfrac{10\sqrt{3}t}{sin120^{\circ}}$，代值整理得到，$sin\alpha=\cdots=\cfrac{1}{2}$，故$\alpha=30^{\circ}$。即沿北偏东$60^{\circ}$或东偏北$30^{\circ}$方向能追上，最快用时约$14.7$分钟。

反思总结：①本题目的难点之一，就是根据题意做出图形，作图时需要理解题中的各种角的含义， ②且在$A、B、C$处需要建立方位。同时还存在做出的是俯视图还是斜二测图形。 ③题目一开始我们并不知道$BC$两点在正东正西方向上，所以直接设沿着东偏北多少是错误的。 ④在$\Delta BCD$中使用正弦定理求$sin\angle DCB$时，代入边长时要么都用边长，要么都使用速度，以减少运算错误；如果利用余弦定理计算$cos\angle DCB$会非常麻烦。

001
如图，一条河的两岸平行，河的宽度$d＝0.6 km$，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B。已知$AB＝1km$，水的流速为$2 km/h$，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为$6 min(0.1h)$，则客船在静水中的速度为【】
A．$8 km/h$ $\hspace{2cm}$ B．$6\sqrt{2} km/h$ $\hspace{2cm}$ C．$2\sqrt{34} km/h$ $\hspace{2cm}$ D．$10 km/h$