电子技术——BJT的小信号模型

电子技术——BJT的小信号模型

本节我们学习BJT的小信号模型。

集电极电流和互导系数

下图是我们主要研究的原理图：

首先基极电压的表达式为：

$$v_{BE}=V_{BE}+v_{be}$$

对应的集电极电流为：

$$i_C=I_S{e}^{v_{BE}/V_T}=I_S{e}^{(V_{BE}+v_{be})/V_T}=I_S{e}^{V_{BE}/V_T}{e}^{v_{be}/V_T}=I_C{e}^{v_{be}/V_T}$$

现在，使用小信号假设，假设 $v_{be}\ll V_T$ ，那么在此处可将其泰勒一阶展开为：

$$i_C\simeq I_C(1+\frac{v_{be}}{V_T})$$

因此，对于BJT的 小信号估计 为，假设 $v_{be}\ll V_T$ ，也就是说， $v_{be}<10mV$ 。进而可以写成是：

$$i_C=I_C+\frac{I_C}{V_T}{v}_{be}$$

现在的集电极瞬时电流由两部分组成，一部分是原来的DC集电极电流，另一部分是叠加的信号电流，而且信号电流分量为：

$$i_c=\frac{I_C}{V_T}{v}_{be}$$

信号电流和电压直接存在互导关系：

$$i_c=g_m{v}_{be}$$

这里 $g_m$ 为 互导系数 ，其等于：

$$g_m=\frac{I_C}{V_T}$$

我们发现，互导系数直接正比于DC电流 $I_C$ ，如果想拥有一个期望的互导系数，那么就需要正确设置偏置电流 $I_C$ 。而且，BJT的互导系数要比MOSFET的互导系数要大很多。

如果使用图像法表示，如下图：

此时，Q点处的图像斜率就是互导系数 $g_m$ ，定义为：

$$g_m\equiv \frac{\partial i_C}{\partial v_{BE}}{|}_{i_C=I_C}$$

基极电流和基极输入阻抗

为了计算从信号源看过去的阻抗，我们首先计算基极电流：

$$i_B=\frac{i_C}{\beta }=\frac{I_C}{\beta }+\frac{1}{\beta }\frac{I_C}{V_T}{v}_{be}$$

因此：

$$i_B=I_B+i_b$$

这里的 $I_B$ 是DC基极偏置电流 $\frac{I_C}{\beta }$ ，信号分量为：

$$i_b=\frac{1}{\beta }\frac{I_C}{V_T}{v}_{be}=\frac{g_m}{\beta }{v}_{be}$$

因此，从信号源看过去的基极阻抗为：

$$r_{\pi }\equiv \frac{v_{be}}{i_b}=\frac{\beta }{g_m}=\frac{V_T}{I_B}$$

基极阻抗反比于DC电流 $I_C$ 正比于 $\beta$ 。

发射极电流和发射极输入阻抗

发射极电流和集电极电流的关系为：

$$i_E=\frac{i_C}{\alpha }=\frac{I_C}{\alpha }+\frac{i_c}{\alpha }$$

因此：

$$i_E=I_E+i_e$$

这里的 $I_E$ 是DC发射极偏置电流 $\frac{I_C}{\alpha }$ ，信号分量为：

$$i_e=\frac{1}{\alpha }\frac{I_C}{V_T}{v}_{be}=\frac{g_m}{\alpha }{v}_{be}$$

因此，从信号源看过去的基极阻抗为：

$$r_e\equiv \frac{v_{be}}{i_e}=\frac{\alpha }{g_m}=\frac{V_T}{I_E}$$

因为 $r_e=\frac{\alpha }{g_m}$，所以：

$$r_e\simeq =\frac{1}{g_m}$$

$r_e$ 和 $r_{\pi }$ 之间的关系为可以通过下面的式子导出：

$$v_{be}=i_b{r}_{\pi }=i_e{r}_e$$

因此：

$$r_{\pi }=(i_e/i_b)r_e=(\beta +1)r_e\simeq \beta r_e$$

下图中，展现了两个电阻之间的差异：

电压增益

接下来我们讨论BJT放大器的电压增益，输出电压为：

$$v_{CE}=V_{CC}-i_C{R}_C=V_{CE}-i_C{R}_C$$

则输出电压仍由两部分组成，一是原来的DC偏置电压 $V_{CE}$ ，二是输出信号电压：

$$v_{ce}=-i_C{R}_C=-g_m{v}_{be}{R}_C=(-g_m{R}_C)v_{be}$$

因此电压增益为：

$$A_v\equiv \frac{v_{ce}}{v_{be}}=-g_m{R}_C=-\frac{I_C{R}_C}{V_T}$$

混合 $\pi$ 模型

一种等效的小信号BJT电路模型如下图所示：

这个模型将BJT表现为一个压控流源，并表现出从基极看过去的电阻 $r_{\pi }$ 。则 $i_b=\frac{v_{be}}{r_{\pi }}$ ， $i_c=g_m{v}_{be}$ 。

在小信号模型中，电流仍呈现关于 $\beta$ 的比例关系，因为：

$$g_m{v}_{be}=g_m(i_b{r}_{\pi })=\beta i_b$$

因此该模型也可以表述为右边的流控流源。

电流 $i_e$ 通过节点电流公式给出：

$$i_e=i_b+i_c$$

这个模型称为BJT的混合 $\pi$ 模型，广泛应用于BJT的电路分析中。

T 模型

另外一种小信号模型如下图所示：

这个模型将BJT表现为一个压控流源，并表现出从发射极看过去的电阻 $r_e$ 。则 $i_e=\frac{v_{be}}{r_e}$ ， $i_c=g_m{v}_{be}$ 。

之前有给出 $r_{\pi }$ 和 $r_e$ 之间的关系为：

$$r_{\pi }=(\beta +1)r_e$$

在小信号模型中，电流仍呈现关于 $\alpha$ 的比例关系，因为：

$$g_m{v}_{be}=g_m(i_e{r}_e)=\alpha i_e$$

因此该模型也可以表述为右边的流控流源。

这个模型称为BJT的T模型，广泛应用于BJT的电路分析中。

有限输出电阻 $r_o$

考虑到厄尔利电压带来的有限输出电阻 $r_o$ 的效应，这个效应仍对信号电压起作用，因此考虑到 $r_o$ 可以表述为集电极和发射极两端的电阻，我们可以修改我们的小信号模型为：

$r_o$ 的值由偏置参数给出：

$$r_o=\frac{V_A}{I_C^{\prime }}$$

其中 $I_C^{\prime }$ 是不考虑厄尔利电压时的集电极电流。

引入 $r_o$ 之后，输出电压变为：

$$v_o=-g_m{v}_{be}(R_C||r_o)$$

在一些分立电路中， $r_o\gg R_C$ 因此大多数情况下 $r_o$ 可以忽略不计，但是以后我们学习集成模拟电路的时候， $r_o$ 此时起主导作用。

对于T模型也同理，将集电极和发射极两端并联 $r_o$ 即可。

总结

下图给出了各个模型的参数总结：