万有引力

一、开普勒三定律

开普勒第一定律：行星绕太阳公转的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

以太阳为极点建立极坐标系，则行星的轨道可以表示为

开普勒第二定律：行星矢径在相等的时间内扫过的面积相等，即掠面速度守恒。得

即

（常量）

开普勒第三定律：轨道半长轴的立方与行星绕太阳运动周期的平方成正比，即

二、由开普勒三定律推导牛顿万有引力定律

极坐标中加速度可表示成径向分量与横向分量：

，，

由开普勒第二定律，，可知a_θ = 0，从而行星只有径向加速度，即行星所受的力为有心力。得

设u = 1/r，得

得比耐公式：

将开普勒第一定律的数学表达式代入上式，得

由于掠面速度

而

得

由于K为太阳系常量，与行星的性质无关，因此引力的大小与行星和太阳之间的距离的平方成反比，与行星的质量成正比，力的方向指向太阳。

由牛顿第三定律得，太阳也受到行星给它的引力，而且大小与行星受到的太阳的引力相等。而由上可知，引力的大小又与太阳的质量成正比。因此，行星受到的太阳的引力大小，与行星和太阳质量的乘积成正比。

综上所述，将引力作用推广到任意两个物体，则两物体之间的万有引力表示为

其中e_r为受力物体相对于施力物体的矢径，G称作万有引力常量，与两物体的性质无关，最新国际推荐值为

G = 6.67428(67)×10^-11 m³kg^-1s^-2

附：

（1）平面极坐标系当中加速度分量的推导

在平面极坐标系中，径向单位矢量e_r与横向单位矢量e_θ一般都不是常矢量，根据e_r和e_θ与直角坐标系单位矢量i和j间的关系式

，

利用矢量求导数的方法可以得到

由此可以得到

（2）椭圆半长轴a、半短轴b、偏心率e与极坐标方程之间的关系

设椭圆的极坐标方程为

则