【题解】洛谷P4819 [中山市选] 杀人游戏

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题面描述：

一位冷血的杀手潜入 Na-wiat，并假装成平民。警察希望能在 N 个人里面，查出谁是杀手。警察能够对每一个人进行查证，假如查证的对象是平民，他会告诉警察，他认识的人， 谁是杀手， 谁是平民。
假如查证的对象是杀手， 杀手将会把警察干掉。现在警察掌握了每一个人认识谁。每一个人都有可能是杀手，可看作他们是杀手的概率是相同的。
问：根据最优的情况，保证警察自身安全并知道谁是杀手的概率最大是多少？

Input
第一行有两个整数 N,M。
接下来有 M 行，每行两个整数 x,y，表示 x 认识 y（y 不一定认识 x） 。

Output
仅包含一行一个实数，保留小数点后面 6 位，表示最大概率。

题意转化：有n个点，每个点都有一个身份。其中有$m$个关系，每个关系给出$a$和$b$，表示$a$认识$b$（$b$不一定认识$a$），求最少要询问多少个人，才能知道所有人的身份（把那个杀手找出来）。

分析：

• 我们要询问最少的人有什么用呢？
  假设有$n$个人，我们询问了$k$个点知道了所有人的身份。但是，杀手有可能在这k个人之中，也就是说，我们在询问这$k$个人的时候就被杀掉了。对于每个点，他是杀手的概率是$\frac{1}{n}$,我们询问了$k$个人,概率就是$\frac{k}{n}$。所以，我们被杀的概率是$\frac{k}{n}$,能够存活的概率就是$1-\frac{k}{n}$。

题意理解了之后，我们再思考做法。

考虑样例：

我们只要访问$1$号节点，就能知道全部的身份，1号节点是杀手的概率是$\frac{1}{5}$，所以安全的概率就是$\frac{4}{5}$。

那么样例太水，尝试来一个复杂一点的样例。

对于这个样例，我们只要访问1号节点知道2,3,4号点的身份和访问6号点知道5号点的身份就可以了。概率是$\frac{2}{3}$。

• 现在我们已经大致理清楚了题意，但是题目上的图不免有些复杂了，我们能否尝试将图变得简单一点呢？
  对于一个集合而言，如果访问了集合内的一个点就知道了集合内所有人的身份，那么这个集合中的点都是等价的，相当于一个点，那么我们只要把他们当成一个点即可。又联想到有向图，我们想到了什么？强连通分量!

没错，这道题就是一道强联通分量缩点的例题。

图就变得简洁多了，我们只要访问1号点和六号点即可。

第一个猜想：缩点后入度为0的点的个数就是所求的最小点数
恭喜你，那么整整21分！

来组反例：

那么对于这幅图，我们实际上只要访问一号点知道1,2,3,4号点的身份，通过排除法就可以得到5号点的身份。即我们只需要访问一个人就可以知道所有人的身份。

我们在猜想：对于缩点后的一个点，如果他的大小为1，入度为0，出去的所有的点的入度>1，那么这个点就可以不用访问，不过我们最多只能不访问这么一个节点（用排除法的性质就可以想）

我们在屡一下思路：

• 强联通分量缩点
• 找出入度为0的点数k
• 找出是否存在上述的特属于的点，记为布尔f
• 答案为$1-\frac{k-f}{n}$

那么具体代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{int x,y,Next; 
}e[600010],e1[600010];
int linkk[600010];
int in[600010];
int linkk1[600010];
int dfn[600010];
int low[600010];
int stackk[600010];
int fam[600010];
int size[600010];
bool vis[600010];
int len=0,cnt=0,num=0,top=0,ans=0;
int n,m;
void insert(int x,int y){e[++len].Next=linkk[x];linkk[x]=len;e[len].y=y;e[len].x=x;
}
void insert2(int x,int y){e1[++len].Next=linkk1[x];linkk1[x]=len;e1[len].y=y;
}
void insert_new(){for (int i=1;i<=m;i++)if (fam[e[i].x]!=fam[e[i].y])insert2(fam[e[i].x],fam[e[i].y]),in[fam[e[i].y]]++;
}
void tarjan(int x){dfn[x]=low[x]=++cnt;stackk[++top]=x;vis[x]=1;for (int i=linkk[x];i;i=e[i].Next)if (!dfn[e[i].y])tarjan(e[i].y),low[x]=min(low[x],low[e[i].y]);else if (vis[e[i].y]) low[x]=min(low[x],dfn[e[i].y]);if (dfn[x]==low[x]){++num;int t;do{t=stackk[top--];vis[t]=0;size[num]++;fam[t]=num;}while (x!=t);}
}
int main(){scanf("%d %d",&n,&m);for (int i=1,x,y;i<=m;i++)scanf("%d %d",&x,&y),insert(x,y);for (int i=1;i<=n;i++)if (!dfn[i]) tarjan(i);len=0;insert_new();bool f=0;for (int i=1;i<=num;i++){bool ff=0;if (!f&&!in[i]&&size[i]==1){ff=1;for (int j=linkk1[i];j;j=e1[j].Next) if (in[e1[j].y]==1){ff=0;break;}}if (ff) f=1;if (!in[i]) ans++;}printf("%.6lf",1.0-double(double(ans-f)/double(n)));fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}