论文阅读 (四)：Multi-Instance Learning by Treating Instances As Non-I.I.D. Samples (MIGraph miGraph2009)

引入

  论文地址：https://cs.nju.edu.cn/zhouzh/zhouzh.files/publication/icml09miGraph.pdf
  论文出发点：包中的实例非独立同分布 (non-I.I.D.)
  设计的两种方法：
  1）MIGraph：明确将每个包映射为无向图 (undirected graph)，并设计一种graph kernel来区分正包和负包；
  2）miGraph：通过affinity matrix来隐式地构建图，并设计一种相应的graph kernel。

1 算法提出

  本文的符号表如下：

  包的标签确定如下：
Y i = { + 1 , ∃ g ∈ { 1 , ⋯ , n i } , st.  y i g = + 1 ; − 1 , otherwise. (1*) Y_i = \begin{cases} +1, \exist \ g \in \{1, \cdots, n_i \}, \textrm{ st. } y_{ig} = +1;\\ -1, \textrm{otherwise.} \end{cases} \tag{1*} Yi​={+1,∃ g∈{1,⋯,ni​}, st. yig​=+1;−1,otherwise.​(1*)

1.1 算法示例

  1）如下图所示 (图片来自原论文并简单处理)，假设每张图对应一个包，每个用矩形框出的部分 (patch)对应一个实例，且同一颜色的patch是相似的。

  2）如果每个patch看作是独立的样本，则上图可以抽象为下图 (图片来自原论文)。这种情况下，这三个包是相似的，因为他们拥有同样数量且相似的实例。

  3）如果考虑每个patch的关系，那么前两个包则更为相似：

1.2 MIGraph

  步骤如下：
  1）为每个包构建$ϵ$-graph¹：
   I）对于每一个包$X_i$，其中的实例看作是一个节点 (node)；
   II）计算每两个node之间的的距离 (暂时记作d)；
   III）如果某两个node之间的距离小于预设的阈值$ϵ$，则两者之间建立边界 (edge)；
   IV）edge的权重表示两个node之间的亲密度 (affinity)，实验中初始化为非零距离的归一化倒数；

  2）涉及已分类的 (categorical)属性时，使用VDM (value differene metric)²作为补充：
   I）假设属性的前$j$个是categorical，余下的 $(d-j)$个是归一化为 $[0,1]$的连续值；
   II）使用以下距离来计算两个实例${\mathbf{x}}_1$和${\mathbf{x}}_2$的距离：
$$d=(\sum _{h=1}^{j}VDM({\mathbf{x}}_{1,h},{\mathbf{x}}_{2,h})+\sum _{h=j+1}^d{|{\mathbf{x}}_{1,h},{\mathbf{x}}_{2,h}|}^2{)}^{\frac{1}{2}}.\text{\hspace{1em}(2*)}$$
   III）数值$z_1$和$z_2$的VDM距离表示如下：
$$VDM(z_1,z_2)=\sum _{c=1}^C|\frac{N_{Z,z_1,c}}{N_{Z,z_1}}-\frac{N_{Z,z_2,c}}{N_{Z,z_2}}{|}^2,\text{\hspace{1em}(1)}$$     其中$N_{Z,z}$表示持有$z$的$Z$的长度，$N_{Z,z,c}$表示持有$z$的$Z$中数值属于第$c$类的数量，$C$表示类别数。

  理解：这里的$Z$代表实例$x$的前j个值组成的向量 (暂时记作$x^{\ast }$)，$N_{Z,z}=j$。
  疑问：这里的类别指的是什么？
  一种猜测是按照某种方式将$x^{\ast }$中的值分为$C$类，则$N_{Z,z,c}$表示当前数值所属类别的数值数。

  3）将训练包映射为图的集合，并以此构建分类器。
   I）例1：使用kNN、图形距离 (graph edit distance) ³来构建分类器；
   2）例2：设置一种图核、带核的分类器如SVM。

  4）MIGraph使用3）中例二的方法，其图核的思想如下图 (图片来自原论文)，即通过节点核和边界核来计算两个包之间的相似性：

1.2.1 图核定义

  给定两个包$X_i$和$X_j$，并将其看作为图： G h ( { x h u } u = 1 n h , { e h v } v = 1 m h ) G_h (\{ \mathbf{x}_{hu}\}^{n_h}_{u = 1}, \{ \mathbf{e}_{hv}\}^{m_h}_{v = 1}) Gh​({xhu​}u=1nh​​,{ehv​}v=1mh​​)，其中$n_h$和$m_h$分别是$G_h$中节点和边界的个数，则图核定义如下：
$$k_G({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=\sum _{a=1}^{n_i}\sum _{b=1}^{n_j}{k}_{node}({\mathbf{x}}_{ia},{\mathbf{x}}_{jb})+\sum _{a=1}^{m_i}\sum _{b=1}^{m_j}{k}_{edge}({\mathbf{e}}_{ia},{\mathbf{e}}_{jb}),\text{\hspace{1em}(2)}$$其中$k_{node}$和$k_{edge}$是正半定核 (positive semidefinite kernels)。
  为了避免数值问题，$k_G$标准化如下：
$$k_G({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=\frac{k_G({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)}{\sqrt{k_G({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_i)}\sqrt{k_G({\mathbf{x}}_j,{\mathbf{x}}_j)}}.\text{\hspace{1em}(3)}$$
  $k_{node}$和$k_{edge}$的定义方式多样，以下用Gaussian RBF核⁴对$k_{node}$进行定义：
$$k_{node}({\mathbf{x}}_{ia},{\mathbf{x}}_{jb})=\exp (-\gamma \parallel {\mathbf{x}}_{ia}-{\mathbf{x}}_{jb}{\parallel }^2).\text{\hspace{1em}(4)}$$$k_{edge}$的定义与式 (4)类似，只是将${\mathbf{x}}_{ij}$替换为${\mathbf{e}}_{ij}$。

1.2.2 边界定义

  目前的关键问题是如何定义特征向量来描述边界：
 边界用于连接包$X_i$中的两个节点${\mathbf{x}}_{iu}$和${\mathbf{x}}_{iv}$，将其定义为$[d_u,p_u,d_v,p_v{]}^{\prime }$，其中$d_u$表示${\mathbf{x}}_{iu}$与其他节点相连接的边界数量，需要注意的是已通过将其除以$X_i$中的边界总数来进行归一化；$d_v$的定义与$d_u$类似；$p_u$定义如下：
$$p_u=w_{uv}/\sum w_{u,\ast }.\text{\hspace{1em}(3*)}$$其中$w_{uv}$表示连接${\mathbf{x}}_{iu}$和${\mathbf{x}}_{iv}$的权重；$w_{u,\ast }$表示${\mathbf{x}}_{iu}$与其他相连接节点的权重之和；$p_v$的定义与$p_u$类似。

1.3 miGraph

  如公式 (2)，$k_G$是一个正定核 (positive definite kerne)，显然，$k_G$满足图核定义所需考虑的四个主要性质⁵
且可以用于任意的图，不足之处在于时间复杂度为$O(n_i{n}_j+m_i{m}_j)$。对此，“我们”提出了一种更为简单高效的核，即miGraph。

1.3.1 关联矩阵

  对于包$X_i$中的两个实例之间的距离，“我们“可以通过构建关联矩阵$W^i$ (affinity matrix)来计算。例如，如果两个实例${\mathbf{x}}_{ia}$和${\mathbf{x}}_{iu}$之间的距离小于给定阈值$\delta$，$W^i$的第$a$行第$u$列元素$w_{au}^i$将设置为1，反之为0。

1.3.2 图核定义

  本文中，距离的度量使用Gaussian距离，$\delta$设置为包中的平均距离：
  给定两个包$X_i$和$X_j$，分别包含$n_i$和$n_j$个实例实例，则图核的定义如下：
$$k_g(X_i,X_j)=\frac{\sum _{a=1}^{n_i}\sum _{b=1}^{n_j}{W}_{ia}{W}_{jb}k({\mathbf{x}}_{ia},{\mathbf{x}}_{jb})}{\sum _{a=1}^{n_i}{W}_{ia}\sum _{b=1}^{n_j}{W}_{jb}},\text{\hspace{1em}(5)}$$其中$W_{ia}=1/{\sum }_{u=1}^{n_i}{w}_{au}^i$，$W_{jb}=1/{\sum }_{v=1}^{n_j}{w}_{bv}^j$，$k({\mathbf{x}}_{ia},{\mathbf{x}}_{jb})$的定义类似于式 (4)。

  $k_g$应满足以下原则：
$$W_{ia}=\{\begin{array}{l}1,W^i=\mathbf{I};\\ 1/n_i,W^i=\mathbf{E};\\ 1/n_{ia},W^i=\mathbf{C},\end{array}\text{\hspace{1em}(4*)}$$其中$\mathbf{I}$为单位矩阵；$\mathbf{E}$为全为1的矩阵；$\mathbf{C}$为分块矩阵，即包中的实例被聚类为几块，$n_{ia}$为${\mathbf{x}}_{ia}$所属块的大小。此外，$w_{ab}^i$的值增加或减少时，$W_{ia}$和$W_{ib}$应当相应增加或减少，其他情况则不受影响。
  显然$k_g$的时间复杂度为$O(n_i{n}_j)$

2 实验