python 编程求矩阵运算及求多元一次方程

本文内容：使用 jupyter 编写 python 代码对矩阵进行基本运算。

一、python 矩阵操作

• 先引入 numpy ，以后的教程中，我们都引用 np 作为简写。
• 使用 mat 函数创建一个 2×3 矩阵。

#引入numpy
import numpy as np
#使用mat函数创建一个2×3矩阵
a=np.mat([[1,2,3],[4,5,6]])
a

• 使用 shape 可以获取矩阵的大小。

#使用shape可以获取矩阵的大小
a.shape

• 使用下表读取矩阵中的元素

#使用下标读取矩阵中的元素
a.T

• 进行行列转换。

#进行行列转换
a.transpose()a.T

• 实际上官方文档建议我们使用二维数组代替矩阵来进行矩阵运算；因为二维数组用得较多，而且基本可取代矩阵。

#用二维数组代替矩阵
b=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
bb.T

• 加减法也是一样的。

#加减法
a+ab+b

• 当然列表是不能这么尽兴加减的。

#列表不能尽兴加减
c=[[1,2,3],[4,5,6]]
c+c

二、python 矩阵乘法

• 使用二维数组创建两个矩阵 A 和 B。

#使用二维数组创建两个矩阵A和B
A=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
B=A.TAB

• 先来一个矩阵的数乘，其实是矩阵的每一个元素乘以该数。

#矩阵每个元素乘以该数
2*A2*B

• dot 函数用于矩阵乘法，对于二维数组，它计算的是矩阵乘积，对于一维数组，它计算的是内积。

A*Bnp.dot(A,B)np.dot(B,A)

• 再创建一个二维数组

#创建一个二维数组
C=np.array([[1,2],[1,3]])
C

• 我们验证一个矩阵乘法的结合性：(AB)C=A(BC)。

#验证矩阵乘法的结合性 (AB)C=A(BC)
np.dot(np.dot(A,B),C)np.dot(A,np.dot(B,C))

• 接着看一下对加法的分配性：(A+B)C=AC+BC、C(A+B)=CA+CB。

#验证加法的分配性 (A+B)C=AC+BC  C(A+B)=CA+CB
D=B-1
Dnp.dot(A,B+D)np.dot(A,B)+np.dot(A,D)

• 数乘的结合性，也是一样的。

#验证数乘的结合性
2*(np.dot(A,B))np.dot(A,2*B)np.dot(2*A,B)np.dot(A,2*B)

• 接着我们用到一个新知识，使用 eye 创建一个单位矩阵。

#使用 eye 创建一个单位矩阵
I=np.eye(3)
I

• 一个矩阵 A 乘以一个单位矩阵，还是它本身。

#矩阵 A 乘以一个单位矩阵
np.dot(A,I)

三、python 矩阵转置

• 先创建一个矩阵 A（前面已经创建过了）。

A

• 我们使用属性 T 来得到矩阵 A 的转置矩阵

A.T

• 验证第一个性质：(A’)’=A。

A.T.T

• 创建两个尺寸相同的矩阵（前面已经创建过了）。

BD

• 验证矩阵转置的第二个性质：(A±B)’=A’±B’。

(B+D).TB.T+D.T

• 验证矩阵转置的第三个性质：(KA)’=KA’

10*A.T(10*A).T

• 验证矩阵转置的第四个性质：(A×B)’=B’×A’

np.dot(A.T,B.T)np.dot(B.T,A.T)

四、python 求方阵的迹

• 方阵的迹就是主对角元素之和。
• 创建一个方阵（行数等于列数的矩阵）。

E=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
E

• 用 trace 计算方阵的迹。

np.trace(E)

• 再创建一个方阵 F。

F=E-2
F

• 验证一下方阵的迹等于方阵的转置的迹。

np.trace(E)np.trace(E.T)

• 验证一下方阵的乘积的迹。

np.trace(np.dot(E,F))np.trace(np.dot(F,E))

• 验证一下方阵的和的迹等于方阵的迹的和。

np.trace(E+F)np.trace(E)+np.trace(F)

五、python 方阵的行列式计算方法

• 如何计算方阵的行列式，用到的是 numpy 模块的 linalg.det 方法。
• 行列式计算方法：
  
  
• 创建两个方阵（上面已经创建过了）。

EF

• 使用 det 方法求得方阵 E 和方阵 F 的行列式。

np.linalg.det(E)np.linalg.det(F)

Cnp.linalg.det(C)

六、python 求逆矩阵 / 伴随矩阵

• 设 A 是数域上的一个 n 阶方阵，若在相同数域上存在另一个 n 阶矩阵 B，使得：AB=BA=E，则我们称 B 是 A 的逆矩阵，而 A 则被称为可逆矩阵，当矩阵 A 的行列式 |A| 不等于 0 时才存在可逆矩阵。
  
• 创建一个方阵。

A=np.array([[1,-2,1],[0,2,-1],[1,1,-2]])
A

• 使用 linalg.det 求得方阵的行列式。

A_abs=np.linalg.det(A)
A_abs

• 使用 linalg.inv 求得方阵 A 的逆矩阵。

B=np.linalg.inv(A)
B

• 接着我们利用公式：$A^{-1}=A^{\prime \prime }/|A|$ ——> $A^{\prime \prime }=A^{-1}|A|$ 来计算。

A_bansui=B*A_abs
A_bansui

七、python 解多元一次方程

• 用 python 的 numpy 包中的 linalg.solve() 方法解多元一次方程。
• 首先看一下我们要解的方程，将这个方程格式调整好，按照 x-y-z-常数项的顺序排列：
  $$\begin{gathered} x+2y+z=7 \\ 2x-y+3z=7 \\ 3x+y+2z=18 \end{gathered}$$
• 将未知数的系数写下来，排列成一个矩阵 a ，如下：

a=[[1,2,1],[2,-1,3],[3,1,2]]
a=np.array(a)
a

• 常数项构成一个一维数组（向量）。

b=[7,7,18]
b=np.array(b)
b

• 使用linalg.solve 方法解方程，参数 a 指的是系数矩阵，参数 b 指的是常数项矩阵。

x=np.linalg.solve(a,b)
x

• 使用点乘的方法可以验证一下，系数乘以未知数可以得到常数项。

np.dot(a,x)