唠唠回溯算法

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前言

算法是对解决一个问题的步骤的描述，对大量的数据进行处理或者复杂操作都是不可少的。本人目前也是第一次系统的学习算法，在这里谈一下对回溯算法的理解。

提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、解空间概念

说回溯算法就一定要有解空间。问题的解空间最少要包含问题的一个解。通常将解空间组成成树的形式。回溯法从根结点出发，以深度优先方式遍历整棵树（解空间），直至找到所要求的的解或树的结点都访问过为止。（解存在于叶子中，要从根走到叶子）

二、回溯算法的思想

1、适用于求解搜索问题和优化问题。
2、搜索空间：树，结点对应部分解向量。
3、搜索过程：采用系统的方法遍历搜索树。
4、搜索策略：DFS、BFS、函数优先、深广结合等。
5、结点的分支判定条件：满足约束条件——分支扩张解向量；不满足约束条件，回溯到该结点的双亲结点。

多米诺性质：若k+1维向量满足约束条件，则k维向量也满足约束条件。
可行解：搜索空间满足约束条件的解。
最优解：使得目标函数达到极大的可行解。

三、算法应用

1、n后问题
问题描述：在nn的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于，在nn的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。
以4后为例：

解是4维向量<2,4,1,3>或<3,1,4,2>每一行的列号。
其搜索空间是一棵四叉树，在选择第一个皇后落子的时候，有四个选择。如果选择在(1,1)落子，则第二个子要落在(2,3)或(2,4)上，若在(2,3)上，则剩余两个子不能落下；若第二个子要落在(2,4)上，第三个子要落在(3,2)上，剩余最后一个子不能落下。依次规则，得到解向量。
搜索空间：4叉树：

2、背包问题
问题描述：给定n种物品和一个背包。物品i 的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

例如:
v1=1 v2=3 v3=5 v4=9
w1=2 w2=3 w3=4 w4=7
背包限重为10

对背包问题进行建模：
对每个物品的个数定义为xi，则
max x1+3x2+5x3+9x4（价值最大）
2x1+3x2+4x3+7x4<=10 （i=1，2，3，4）
对上述物品按vi/wi从大到小进行排序得：
max 9x1+5x2+3x3+x4（价值最大）
7x1+4x2+3x3+2x4<=10 （i=1，2，3，4）
即，物品4、物品3、物品2、物品1的顺序
结点的代价函数=已装入背包价值+A（A为还可继续装入最大价值的上界）
A=背包剩余重量*剩余物品列表中第一个vi/wi
若背包剩余重量为0，则不可继续装入；
若背包剩余重量>=wi，即下一个物品可以继续装入，否则当前代价函数就是背包当前的价值。
搜索空间：子集树

总结

回溯算法的解空间要有组织形式（树）。
对解空间要有遍历方法（DFS）。
对结点分值要有判定条件（该结点是否包含解）。

本人初学者，此文为本人对回溯算法的理解。如有问题，欢迎指正，大家一起交流学习。