信奥赛算法

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#include < algorithm > 调用标准算法库

算法

  解决问题的策略机制

五大特征

    有穷性 ：
       必须能在执行有限个步骤之后终止
    确切性：
       每一步骤必须有确切的定义
    输入项：
       有0个或多个输入
    输出项：
       有一个或多个输出
    可行性 / 有效性：
       每个计算步骤都可以在有限时间内完成

算法复杂度

时间复杂度

  算法的运行时间
  时间频度是指语句执行的次数，也叫语句频度。它计算时间复杂度的一种方法。

for(int i=1;i<=n;i++)cout<<"Hello";

循环体执行n次，则时间频度记为O(n)

算法时间复杂：
O(1)常数阶 < O(logn)对数阶 < O(n)线性阶 < O(n^2)平方阶 < O(n^3)(立方阶) <O(2^n) (指数阶)

空间复杂度

  算法所耗费的存储空间
  算法所占存储空间：
    本身所占的空间
    运行过程中临时占用的空间

模拟和枚举算法

模拟算法

  按照题目所述的方式来写，最终运行得出想要的结果

枚举算法

  列举出所有可能的解，并逐一检验可行性

二分查找

  二分查找也称折半查找，是一种效率较高的查找方法。
  数组必须是升序序列

查找 x

二分查找与顺序查找的演示图对比：

  时间复杂度
    一般情况：O( logn )
    最好情况下只需要进行1次比较就能找到目标元素：O( 1 )

int x;
cin>>x;
int mid,l=1,r=n;
while(l<=r){mid=(l+r)/2;if(a[mid]==x){ans=mid;break;}else if(a[mid]>x){r=mid-1;}else{l=mid+1;}
}
cout<<ans;

递归写法

int solve(int l,int r,int x){int mid=l+(r-l)/2;if(a[mid]==x) return mid;else if(a[mid]<x) return solve(mid,r,x);else if(a[mid]>x) return solve(l,mid,x);
}

查找第一个大于等于x的数

  在一个有序的序列中查找第一个大于等于 x 的数 ( 数列中有重复的数字 )

int x;
cin>>x;
int mid,l=1,r=n,pos=-1;
while(l<=r){mid=(l+r)/2;if(a[mid]>=x){pos=mid;r=mid-1;}else {l=mid+1;}
}	
cout<<pos;

查找第一个大于x的数

  在一个有序的序列中查找第一个大于 x 的数 ( 数列中有重复的数字 )

int x;
cin>>x;
int mid,l=1,r=n,pos=-1;
while(l<=r){mid=(l+r)/2;if(a[mid]>x){pos=mid;r=mid-1;}else {l=mid+1;}
}	
cout<<pos;

lower_bound 和 upper_bound 函数

  lower / upper_bound(a+第一个下标，a+最后一个下标+1，查找元素名) - a
  lower_bound(a+1, a+n+1, x) - a
  lower_bound()函数返回数组 a 中大于等于 x 的第一个元素的地址
  upper_bound(a+1, a+n+1, x) - a
  upper_bound()函数返回数组 a 中大于 x 的第一个元素的地址

  找不到元素则返回n+1

二分答案

  答案有一个区间，在这个区间中二分，直到找到最优答案
是否用二分答案解题：

答案在一个区间内
直接搜索不好搜，但是容易判断一个答案可行不可行
该区间对题目具有单调性，即：在区间中的值越大或越小，题目中的某个量对应增加或减少。

递归

  函数不断调用自身，直到调用的对象已知
  递归两大要素：
     1. 调用自身函数
     2. 停止递归条件

递推

  顺推：从已知的初始条件出发，逐步推出要解决的问题
  逆推：从问题出发逐步推到已知条件

前缀和

  前缀和是数组的前n项和

原理

sum[r] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l-1] + a[l] + a[l + 1] … a[r];
sum[l - 1] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l - 1];
sum[r] - sum[l - 1] = a[l]+ a[l + 1] + …+ a[r];

差分

  差分是一种用于对数组的某一区间进行计算操作的算法

原理

b[ i ] = a[ i ]- a[ i - 1];