本文主要是介绍非递归式(zkw)线段树详解(一),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
线段树,是在信息学各类比赛中经常出现的数据结构之一
普通的线段树大家应该都会,下面来介绍一种不需要递归的线段树
zkw线段树
出自:《统计的力量》-张昆玮
zkw线段树不同于普通线段树的地方在于:它采用堆结构,构造一颗满二叉树(也可以说是完全二叉树),而二叉树的最后一层则是各个节点。
注意:zkw线段树必须是点树,即完全闭区间
普通线段树中的修改需要去查询节点,并分为三类:
完全覆盖,在左区间,在右区间
那么换个方法,自底向上更新呢?
这就是zkw的想法
下面以 单点修改 区间求值为例子
建树:
采用堆结构,取到log(n)-1层最后一个节点,例如上图中,[3,4]节点的标号为3。
那么从3+1开始到3+4,就是1-4四个点的位置了。
好。我们直接把值丢到tree[4~7]中就可以了。。。。
同时向上更新:tree[i]=tree[i*2]+tree[i*2+1]
代码:
inline void up(int x)
{tr[x]=tr[x<<1]+tr[x<<1|1];
}
inline void build()
{for(M=1;M<=n+1;M<<=1);for(int j=M+1;j<=M+n;j++)scanf("%d",&tr[j]);for(int j=M-1;j;j--)up(j);
}
上面代码中,M为log(n)-1层的最后一个节点的下标
更新:
单点更新,更新第k个点同时更新所有k的祖先
inline void update(int x,int y)
{for(tr[x+=M]+=y,x>>=1;x;x>>=1)up(x);
}
查询:
查询s-t区间的和
这个略微复杂,考虑s和t的区间位置:
当s为左儿子,则s的父亲节点被s-t包含,反之该区间内只有s被包含同理 当t为右儿子,则t的父亲节点被s-t包含
很容易理解 可以直接加上t和s的兄弟节点来得到父亲节点的值,同时把s和t上移
当s和t是兄弟时,说明s-t的区间中所有数已经被全部包含
这里可以用到一些位运算优化:
用&确定左右子树,用^确定是否为兄弟关系
inline int query(int s,int t)
{int ans=0;s=s+M-1;t=t+M+1;for(;s^t^1;s>>=1,t>>=1){if(~s&1)ans+=tr[s^1];if(t&1) ans+=tr[t^1];}return ans;
}
然后。。整个代码就写完了
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int M;
int tr[1500001],n,m;
inline void up(int x)
{tr[x]=tr[x<<1]+tr[x<<1|1];
}
inline void build()
{for(M=1;M<=n+1;M<<=1);for(int j=M+1;j<=M+n;j++){int t;scanf("%d",&t);tr[j]=t;}for(int j=M-1;j;j--)up(j);
}
inline void update(int x,int y)
{for(tr[x+=M]+=y,x>>=1;x;x>>=1)up(x);
}
inline int query(int s,int t)
{int ans=0;s=s+M-1;t=t+M+1;for(;s^t^1;s>>=1,t>>=1){if(~s&1)ans+=tr[s^1];if(t&1) ans+=tr[t^1];}return ans;
}
int main()
{cin>>n>>m;build();for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);if(x==1)update(y,z);else printf("%d\n",query(y,z));}
}
是不是比普通线段树的代码简短好多。。同时运行速度比普通线段树快2-3倍
接下来…..恶心的来了
区间修改
原文中说是要利用的。。前缀的前缀和。。。
本蒟蒻语文不好。。是在不懂什么意思- -
但是大概是利用差分思想(不是积分差分的那个
一个简单的例子:区间修改 单点求值
(区间修改 区间求和下次再说咯。。
我们可以发现,在这个问题中,如果一个个单点修改的复杂度是nlogn,好像还不如暴力。。
大家如果学过树状数组,应该好理解一些。
我们可以把每个点的值,化为从根节点到那个点的链上所有标记之和
上面说了标记。。没错。。类似于lazy标记
但是这个lazy标记不会被pushdown反而只会upupup
考虑这样的情况
求链上的和,我们就可以把这棵树改造为
上述操作代码:
int mi=min(tr[s],tr[s^1]);
tr[s]-=mi;
tr[s^1]-=mi;
tr[s>>1]+=mi;
s>>=1;
那么这样,我们就可以只记录它的偏移量,而不直接记录值
于是就构造了一颗。。标记树
对于单点求和,确实没有必要记录下每个点的值,但是如果要区间求值就需要建两棵zkw树了。。比较烦,下次讲
那么求单点的值也是很简单的啦。下面来分步讲解
建树:
同上,只是更新1-M之间的过程改一下
inline void build()
{for(M=1;M<=n+1;M<<=1);for(int i=M+1;i<=M+n;i++)scanf("%d",&tr[i]);int t=M+n;for(t=M;t;t--){int mi=min(tr[t<<1],tr[t<<1|1]);tr[t<<1]-=mi;tr[t<<1|1]-=mi;tr[t]+=mi;}
}
更新:
由于要处理区间,可以参考之前的求区间和部分程序
只不过要加上那个up,并且求值改为修改
inline void add(int s,int t,int v)
{for(s=s+M-1,t=t+M+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1){if(~s&1) tr[s^1]+=v;if(t&1) tr[t^1]+=v;int mi=min(tr[s^1],tr[s]);tr[s]-=mi;tr[s^1]-=mi;tr[s>>1]+=mi;mi=min(tr[t^1],tr[t]);tr[t]-=mi;tr[t^1]-=mi;tr[t>>1]+=mi;}while(s){int mi=min(tr[s],tr[s^1]);tr[s]-=mi;tr[s^1]-=mi;tr[s>>1]+=mi;s>>=1;}
}
好吧我知道这个有点恶心。。但是仔细看还是容易理解的
查询:
这个简单了啊
一条链上全部加起来
inline int query(int x)
{int sum=0,p=M+x;while(p)sum+=tr[p],p>>=1;return sum;
}
又写完了咯
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int M;
int tr[2000001],n,m;
inline void build()
{for(M=1;M<=n+1;M<<=1);for(int i=M+1;i<=M+n;i++)scanf("%d",&tr[i]);int t=M+n;for(t=M;t;t--){int mi=min(tr[t>>1],tr[t>>1|1]);tr[t>>1]-=mi;tr[t>>1|1]-=mi;tr[t]+=mi;}
}
inline void add(int s,int t,int v)
{for(s=s+M-1,t=t+M+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1){if(~s&1) tr[s^1]+=v;if(t&1) tr[t^1]+=v;int mi=min(tr[s^1],tr[s]);tr[s]-=mi;tr[s^1]-=mi;tr[s>>1]+=mi;mi=min(tr[t^1],tr[t]);tr[t]-=mi;tr[t^1]-=mi;tr[t>>1]+=mi;}while(s){int mi=min(tr[s],tr[s^1]);tr[s]-=mi;tr[s^1]-=mi;tr[s>>1]+=mi;s>>=1;}
}
inline int query(int x)
{int sum=0,p=M+x;while(p)sum+=tr[p],p>>=1;return sum;
}
int main()
{cin>>n>>m;build();for(int i=1;i<=m;i++){int x;scanf("%d",&x);if(x==1){int s,t,v;scanf("%d%d%d",&s,&t,&v); add(s,t,v);}else{int s;scanf("%d",&s);printf("%d\n",query(s));}}
}
感谢读到这里
这篇关于非递归式(zkw)线段树详解(一)的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!