PTA 7-32 哥尼斯堡的“七桥问题”(欧拉回路)

2023-10-07 03:30

本文主要是介绍PTA 7-32 哥尼斯堡的“七桥问题”(欧拉回路),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

本题考查点:

  • 欧拉回路

    文章目录

    • 欧拉图、欧拉通路与欧拉回路
    • 本题思路

哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市,它包含两个岛屿及连接它们的七座桥,如下图所示。

可否走过这样的七座桥,而且每桥只走过一次?瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707—1783)最终解决了这个问题,并由此创立了拓扑学。
这个问题如今可以描述为判断欧拉回路是否存在的问题。欧拉回路是指不令笔离开纸面,可画过图中每条边仅一次,且可以回到起点的一条回路。现给定一个无向图,问是否存在欧拉回路?
输入格式:
输入第一行给出两个正整数,分别是节点数N (1≤N≤1000)和边数M;随后的M行对应M条边,每行给出一对正整数,分别是该条边直接连通的两个节点的编号(节点从1到N编号)。
输出格式:
若欧拉回路存在则输出1,否则输出0。

在做本题之前,我们先来复习一下欧拉图,欧拉回路,欧拉通路的一些性质:

欧拉图、欧拉通路与欧拉回路

欧拉图的定义

  • 设 G 是无孤立结点的图,若存在一条通路 (回路),经过图中每边一次且仅一次,则称 此通路 (回路) 为该图的一条欧拉通路 (回路)。具有欧拉回路的图称为欧拉图(Eulerian graph)

无向欧拉图判定定理

  • 欧拉回路:无向图 G =< V, E > 具有一条欧拉回路,当且仅当 G 是连通的,并且所有结点的度数均为偶数。
  • 欧拉通路:无向图 G =< V, E > 具有一条欧拉通路,当且仅当 G 是连通的,且仅有零个或两个奇度数结点。

有向欧拉图的判定定理

  • 欧拉通路:有向图 G 具有一条欧拉通路,当且仅当 G 是连通的,且除了两个结点以外,其余结点的入度等 于出度,而这两个例外的结点中,一个结点的入度比出度大 1,另一个结点的出度比入度大 1。
  • 欧拉回路:有向图 G 具有一条欧拉回路,当且仅当 G 是连通的,且所有结点的入度等于出度。

本题思路

而本题,是无向图的欧拉回路的判定,所以我们需要做两件事情

  1. 判定该图是否是连通的(使用并查集,有关并查集可以参考本文)
  2. 判定该图是否所有的点的度数度数都是偶数(读入时记录)

完整代码实现如下:

/* 欧拉图:设图 G 是一个没有孤立结点的图,如果存在一条回路经过图中的每条边一次且仅一次,则称这条回路为该图的一条欧拉回路,含有欧拉回路的图称为欧拉图欧拉通路:无向图 G =< V, E > 具有一条欧拉通路,当且仅当 G 是连通的,且仅有零个或两个奇度数结点欧拉回路的判定定理:无向图 G =< V, E > 具有一条欧拉回路,当且仅当 G 是连通的,并且所有结点的度数均为偶数。采用并查集+度数的判定即可*/
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;const int maxn = 1010;
vector<int> G[maxn

这篇关于PTA 7-32 哥尼斯堡的“七桥问题”(欧拉回路)的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/155752

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