PTA 7-32 哥尼斯堡的“七桥问题”（欧拉回路）

本题考查点：

• 欧拉回路
  

  文章目录

  • 欧拉图、欧拉通路与欧拉回路
  • 本题思路

哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含两个岛屿及连接它们的七座桥，如下图所示。

可否走过这样的七座桥，而且每桥只走过一次？瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler，1707—1783)最终解决了这个问题，并由此创立了拓扑学。
这个问题如今可以描述为判断欧拉回路是否存在的问题。欧拉回路是指不令笔离开纸面，可画过图中每条边仅一次，且可以回到起点的一条回路。现给定一个无向图，问是否存在欧拉回路？
输入格式:
输入第一行给出两个正整数，分别是节点数N (1≤N≤1000)和边数M；随后的M行对应M条边，每行给出一对正整数，分别是该条边直接连通的两个节点的编号（节点从1到N编号）。
输出格式:
若欧拉回路存在则输出1，否则输出0。

在做本题之前，我们先来复习一下欧拉图，欧拉回路，欧拉通路的一些性质：

欧拉图、欧拉通路与欧拉回路

欧拉图的定义：

• 设 G 是无孤立结点的图，若存在一条通路 (回路)，经过图中每边一次且仅一次，则称 此通路 (回路) 为该图的一条欧拉通路 (回路)。具有欧拉回路的图称为欧拉图(Eulerian graph)

无向欧拉图判定定理

• 欧拉回路：无向图 G =< V, E > 具有一条欧拉回路，当且仅当 G 是连通的，并且所有结点的度数均为偶数。
• 欧拉通路：无向图 G =< V, E > 具有一条欧拉通路，当且仅当 G 是连通的，且仅有零个或两个奇度数结点。

有向欧拉图的判定定理

• 欧拉通路：有向图 G 具有一条欧拉通路，当且仅当 G 是连通的，且除了两个结点以外，其余结点的入度等 于出度，而这两个例外的结点中，一个结点的入度比出度大 1，另一个结点的出度比入度大 1。
• 欧拉回路：有向图 G 具有一条欧拉回路，当且仅当 G 是连通的，且所有结点的入度等于出度。

本题思路

而本题，是无向图的欧拉回路的判定，所以我们需要做两件事情

1. 判定该图是否是连通的（使用并查集，有关并查集可以参考本文）
2. 判定该图是否所有的点的度数度数都是偶数（读入时记录）

完整代码实现如下：

/* 欧拉图：设图 G 是一个没有孤立结点的图，如果存在一条回路经过图中的每条边一次且仅一次，则称这条回路为该图的一条欧拉回路，含有欧拉回路的图称为欧拉图欧拉通路：无向图 G =< V, E > 具有一条欧拉通路，当且仅当 G 是连通的，且仅有零个或两个奇度数结点欧拉回路的判定定理：无向图 G =< V, E > 具有一条欧拉回路，当且仅当 G 是连通的，并且所有结点的度数均为偶数。采用并查集+度数的判定即可*/
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;const int maxn = 1010;
vector<int> G[maxn