线代知识点

本文主要是介绍线代知识点，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

一、行列式

n阶行列式：

这里 $\sum_{j_{1}j_{2}\cdot \cdot \cdot j_{n}}^{}{}$ 表示对所有n级排列求和， $\tau(j_{1}j_{2}j_{3}\cdot \cdot \cdot j_{n})$ 表示排列 $j_{1}j_{2}j_{3}\cdot \cdot \cdot j_{n}$ 的逆序数。每项由不同行、不同列的n个元素乘积组成，没项的正负号取决于逆序数 $\tau$ 。

行列式性质：

1、行列互换，其值不变

2、行列式中某行/列元素全为0，则行列式为0

3、行列式中某行/列元素有公因子k(k不为0)，则k可提到行或列外面

4、行列式某行/列元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和

5、行列式两行/列互换，值取反

6、行列式两行/列元素相等或对应成比例，行列式为0

7、行列式中某行/列的k倍加到另一行/列，行列式值不变

余子式&代数余子式：

在n阶行列式中，去掉元素 $a_{ij }$ 所在的第i行，第j列元素，有剩下的元素按原来的位置于顺序组成的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记成 $M_{ij }$ ，

余子式 $M_{ij}$ 乘 $(-1)^{i+j}$ 后称为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记 $A_{ij}$

克拉默法则：

n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组

的系数行列式 $\left| A \right|\ne0$ ，则方程组有唯一解，且 $x_i = \frac{\left| A_i \right|}{\left| A \right|}$ ，i=1,2,3.....其中 $\left| A_i \right|$ 是 $\left| A\right|$ 中第i个元素替换成方程组右端的常数项 $b_1,b_2,...b_n$ 后所构成的行列式。

推论：

若包含n个方程n个未知量的齐次线性方程组（即 $b_1,b_2,...b_n$ 都为0）的系数 $\left| A \right|\ne0$ ，则方程组有唯一0解，反之，若齐次线性方程组有非零解，则其行列式等于0

矩阵：

特殊矩阵：零矩阵（所有元素都为零）、单位矩阵（主对角线元素均为1，其余元素为0）、数量矩阵（数k和单位矩阵的乘积）、对角矩阵（非主对角元素均为0）、上（下）三角矩阵（当i>/<j时， $a_{ij}=0$ ，为上/下三角矩阵）、对称矩阵（ $A^{T}=A$ ）、反对称矩阵（ $A_{T} = -A$ ）、正交矩阵（ $A_T=A^{-1}$ ）

矩阵的逆：n阶方阵，AB=BA=E，B是A的逆矩阵 $\Leftrightarrow \left| A \right| \ne 0$

向量：

线性判别五大定理：

1、向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_{1},\alpha_2,...,\alpha_n$ 线性表出 $\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $[\alpha_{1},\alpha_2,...,\alpha_n]\left[ x_1,x_2,...,x_n \right]^T=\beta$ 有解 $\Leftrightarrow$ $r[\alpha_{1},\alpha_2,...,\alpha_n] = r[\alpha_{1},\alpha_2,...,\alpha_n,\beta]$

2、向量组 $\alpha_{1},\alpha_2,...,\alpha_n$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $[\alpha_{1},\alpha_2,...,\alpha_n]\left[ x_1,x_2,...,x_n \right]^T=\beta$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ $r[\alpha_{1},\alpha_2,...,\alpha_n] < =n$

3、向量组 $a_1,a_2,a_3,...,a_n(a>2)$ 线性相关的充要条件为：向量组中至少一个向量可由其余n-1个向量线性表出

4、若向量组 $a_1,a_2,...,a_n$ 线性无关，而向量组向量组 $a_1,a_2,...,a_n,b$ 线性相关，则 b 可由 $a_1,a_2,...,a_n$ 线性表出，且表出法唯一

5、若向量组 $(1)b_1,b_2,...,b_s$ 中的每一个向量 $b_i$ 都可由向量组向量组 $\\(2)a_1,a_2,...,a_t$ 线性表出，且s>t，则向量组 $b_1,b_2,...,b_n$ 线性相关，若(1)中的每一个向量 $b_i$ 均可由(2)线性表出，且(1)线性无关，则 $s\leq t$

向量空间

定义1、

若 $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ 是 $R^n$ 中线性无关的有序向量组，则任一向量 $\alpha \in R^n$ 均可由 $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ 线性表出， $\alpha = a_1\xi_1+a_2\xi_2+...+a_n\xi_n,\\$ 则称有序向量组 $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ 是 $R^n$ 的一个基，基向量的个数n成为向量的维数，而 $[a_1,a_2,...,a_n]([a_1,a_2,...,a_n]^T)$ 称为向量 $\alpha$ 在基 $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ 下的坐标，或称为 $\alpha$ 的坐标行(列)向量

定理2、

若 $\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$ 和 $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ 是 $R^n$ 的两个基，且有关系 $[\eta_1,\eta_2,...,\eta_n]=[\xi_1,\xi_2,...,\xi_n]C\\$ 则称上式为由基 $\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$ 到基 $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ 的基变换公式，矩阵C称为由基 $\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$ 到基 $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ 的过渡矩阵,C是可逆矩阵

定理3、

设 $\alpha$ 在基 $\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$ 和 $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ 下的坐标分别为 $x=[x_1,x_2,...,x_n]^T,y=[y_1,y_2,...,y_n]^T$ ,即 $\alpha=[\eta_1,\eta_2,...,\eta_n]x=[\xi_1,\xi_2,...,\xi_n]y\\$ 又基 $\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$ 到基 $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ 的过度矩阵为C，即 $[\eta_1,\eta_2,...,\eta_n]=[\xi_1,\xi_2,...,\xi_n]C$ ,则 $\\ \alpha = [\eta_1,\eta_2,...,\eta_n]x = [\xi_1,\xi_2,...,\xi_n]y = [\xi_1,\xi_2,...,\xi_n]Cy\\$ 得 $x=Cy$ 或 $y=C^{-1}x$ ，称为坐标变换公式

正交变换：

设A是n阶方阵，满足 $A^TA=E$ ,则称A是正交矩阵

设A是正交矩阵，则称 $Y=AX$ 为正交变换，正交变换保持向量内积不变，即保持向量长度，两向量间的夹角不变

线性方程组

1、齐次线性方程组：

当r(A)=n时（ $a_1,a_2,...,a_n$ 线性无关），Ax=0有唯一零解

当r(A)<n时，Ax=0有非零解，且有n-r个线性无关解

2、非齐次线性方程组：、

若 $r(A)\ne r([A,b])$ (b不能由 $a_1,a_2,...,a_n$ 线性表出)，Ax=b无解

若 $r(A)= r([A,b])=n$ ( $a_1,a_2,...,a_n$ 线性无关，且能线性表出b)，Ax=b有唯一解

若 $r(A)= r([A,b])=r<n$ ( $a_1,a_2,...,a_n$ 线性相关，且能线性表出b)，Ax=b有无穷解

特征值

设A是n阶方阵， $\lambda$ 是一个数，若存在n维非零向量\xi ，使得 $A\xi=\lambda\xi,\\$ 则称 $\lambda$ 是A的特征值， $\xi$ 是A对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。 $\\ A\xi=\lambda\xi\Rightarrow(\lambda E-A)\xi = 0$ ,因为 $\xi\ne0$ ，所以 $|\lambda E-A|=0$ ，称为A的特征方程

二次型

n 元变量 $x_1,x_2,...,x_n$ 的二次齐次多项式

$\\f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}{a_{ij}x_ix_j}$

称为n元二次型，简称二次型。称 $f(x)=x^TAx$ 为二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 的矩阵表达式，A是对称矩阵

线性变换：

对于n元二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ ,若令

记 $x=[x_1,x_2,x_3,...,x_n]^T,C$ 为 $n\times n$ 系数矩阵, $y=[y_1,y_2,...,y_n]^T$ ，则可写为： $x=Cy\\$ 上式称为从 $y_1,y_2,...,y_n$ 到 $x_1,x_2,...,x_n$ 的线性变换，若 $C$ 可逆，即 $|C|\ne 0，\\$ ，则称为可逆线性变换。现给出 $f(x)=x^TAx$ ,令 $x=Cy$ ,则 $\\ f(x)= (Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y\\$ 记 $B= C^TAC$ ,则 $f(x)=y^TBy=g(y)\\$ 此时，二次型 $f(x)=x^TAx$ 通过线性变换 $x=Cy$ 得到一个新二次型 $g(y)=y^TBy$