[已更新问题一代码]2024数学建模国赛高教社杯A题:“板凳龙” 闹元宵 思路代码文章助攻手把手保姆级

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问题1

问题描述

舞龙队沿着螺距为55 cm的等距螺旋线顺时针盘入。龙头前把手的速度保持在1m/s，初始位置在螺旋线的第16 圈（点A，坐标为 (880 cm, 0)）。螺旋线的终点为 (0, 0)。任务是计算从0秒到300秒间，每秒龙头、龙身、龙 尾的每个前把手和龙尾后把手的中心位置和速度，并将结果保存到文件 result1 .xlsx 中。
解决思路

螺旋线的参数化方程

螺旋线是从外向内盘旋，因此其参数方程应描述半径逐渐减小的情况螺旋线的参数化方程为： x(t) = r(t) ⋅ cos(−θ(t)), y(t) = r(t) ⋅ sin(−θ(t))
其中： 螺旋线的参数化方程为：

x(t) = r(t) ⋅ cos(−θ(t)), y(t) = r(t) ⋅ sin(−θ(t))

其中：

r(t) = r0 − p ⋅ t表示随着时间 (t) 增加，半径逐渐减小。
r0 = 880cm （起始半径） p = 55cm （螺距）
θ(t) =
C = 2πp 表示每一圈的圆周长度，负号用于表示顺时针方向。

1. 初始条件和时间步长
   初始位置：龙头初始位置在A点，即第16圈， r0=880&nbsp ;cmr_0 = 880 \text{ cm}r0=880&nb。sp ;cm 时间步长：每秒钟计算一次，从0秒到300秒，时间间隔为1秒。
2. 速度和位置计算
   . 龙头前把手的速度为常量1 m/s，即100 cm/s。 。 使用龙头的速度，逐秒计算其位移。
   根据龙头的位置和速度，利用刚体运动学原理推导龙身和龙尾每个前把手的位置信息。
3. MATLAB编程步骤
   定义螺旋线的方程，建立从0秒到300秒的时间序列。
   。 计算每个时间点上，龙头和龙身的各个把手的位置和速度。 输出结果至Excel文件 result1 .xlsx 。

在平面螺旋线（如阿基米德螺旋线）上计算两点间的弧长，首先我们需要知道平面螺旋线的公式。阿基米德螺 旋线的极坐标形式是：
r = a + bθ
其中，

r 是从原点到曲线上某点的距离，
θ 是从极轴到该点的线段与正X轴之间的角度（以弧度为单位），
e a 和 b 是常数，分别代表螺旋线的起始半径和螺旋间的距离（螺距）。 为了计算两点间的弧长，我们可以 使用曲线的弧长公式。对于极坐标下的曲线 r(θ)，弧长 s 从 θ1 到 θ2 可以通过以下公式计算：

对于阿基米德螺旋线， 我们有 r = a + bθ , 因此 将 r = a + bθ 和 代入弧长公式中，我们得 到：

t=0时刻下的分布

%  二分法查找函数 ，用于找到下一个点的角度
function  theta_B  =  findNextTheta(theta_A ,  pitch ,  d) %  设置二分法的初始区间 [theta_low ,  theta_high]
theta_low  =  theta_A  +  Θ . Θ1;
theta_high  =  theta_A  +  1Θ;  %  初始高值可适当调大%  设置允许的误差范围
tolerance  =  Θ . ΘΘΘΘ1;%  二分法查找满足条件的 theta_B
while  (theta_high  -  theta_low)  >  tolerance
theta_B  =  (theta_low  +  theta_high)  /  2;  %  中间值 r_A  =  pitch  /  (2  *  pi)  *  theta_A;
r_B  =  pitch  /  (2  *  pi)  *  theta_B; x_A  =  r_A  *  cos(theta_A);
y_A  =  r_A  *  sin(theta_A); %  计算 A  和 B  点之间的距离
distance_AB  =  sqrt((x_B  -  x_A)^2  +  (y_B  -  y_A)^2);%  检查是否满足条件
if  abs(distance_AB  -  d)  <  tolerance  &&  r_B  >  r_A break;  %  找到满足条件的 B  点 ，跳出循环
elseif  distance_AB  <  d   ||  r_B  <=  r_A theta_low  =  theta_B;  %  增加下限
else
theta_high  =  theta_B;  %  减小上限
end end

clc;clear  all;
%  定义螺旋线的参数  pitch  =  55;  %  螺距
r_start  =  0;  %  螺旋线起始半径 point_num=223+1;
%  固定的相邻两点之间的距离
fixed_distance  =ones(point_num-1 ,  1) .*(220-27 .5*2); fixed_distance(1)=341-27 .5*2;
fixed_distance(end)=fixed_distance(1); %  初始化点数组 ，储存所有点的位置 (x ,  y)    points  =  zeros(point_num ,  2);%  初始点 A  的位置和角度
points(1 ,   :)  =  [880 ,  0] ;  %  A  点在 (0 ,  0) theta_A  =  (880  *  2  *  pi)  /  pitch;%  使用二分法查找每个点 for  i  =  2:point_num
theta_B  =  findNextTheta(theta_A ,  pitch ,  fixed_distance(i-1));  %  计算下一个点的角度 r_B  =  pitch  /  (2  *  pi)  *  theta_B;
x_B  =  r_B  *  cos(theta_B); y_B  =  r_B  *  sin(theta_B);%  更新下一个起始点  theta_A  =  theta_B;
end%  显示前10个点
fprintf('前10个点的坐标:\n ') ; disp(points(1 :10 ,  :)) ;%  绘制螺旋线及前10个点
theta  =  linspace(0 ,  theta_A  +  2  *  pi ,  1000); r  =  pitch  /  (2  *  pi)  *  theta;
x  =  r   .*  cos(theta); y  =  r  .*  sin(theta);figure;
plot(x ,  y ,   'b ') ;  %  绘制螺旋线 hold  on;plot(points(1 ,  1) ,  points(1 ,  2)	,   '	go ' ,  'MarkerSize ' ,  8 ,   'MarkerFaceColor ' ,   'g ') ;
plot(points(2 :10 ,  1) ,  points(2 :	10 ,	2) ,  'ro ' ,   'MarkerSize ' ,  8 ,   'MarkerFaceColor ' ,   'r ') ;xlabel( 'X ') ; ylabel( 'Y ') ;

https://docs.qq.com/doc/DVUxsQXZXaUtLYXVl

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