最近做阿里的笔试题，美团的笔试题都出现了栈的顺序的问题。

本文主要是介绍最近做阿里的笔试题，美团的笔试题都出现了栈的顺序的问题。，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

问题描述：已知abcdef,依次入栈，在栈中可停留也可出栈，求下面哪个出栈的顺序不正确？或者有多少种出栈的顺序？

f(0):1

f(1):1

f(2):2

f(3):5

f(4):14

f(5):42

f(6):132

所以对于abcdef共有132种顺序

一：对于出栈的顺序

A:fedcba
B:dcbaef  // abcd入栈，dcba依次出栈，e入栈，e出栈，f入栈，
C:edcbaf  // abcde入栈，edcba依次出栈，f入栈，f出栈
D:dbcaef

对于这样的题，也不是无规律可循，主要就是满足三个条件：

1、在原序列中相对位置比它小的，必须是逆序；
2、在原序列中相对位置比它大的，顺序没有要求；
3、以上两点可以间插进行。

这三个条件咋一看，比较蒙，那么我们就举例来看：

第一个选项

当f第一个出栈时，在原序列中相对位置比它小的，是abcde，他们在这个f之后的出栈中是否是abcde相反的呢？edcba满足条件
当e第二个出栈，在原序列中相对位置比它小的，是abcd，他们在e出栈之后的出栈中是否是abcd相反的呢？dcba满足条件
当d第三个出栈，在原序列中相对位置比它小的，是abc，他们在d出栈之后的出栈中是否是abc相反的呢？cba满足条件
……

第二个选项

当d第一个出栈，在原序列中相对位置比它小的是abc，abc三个元素在d出栈之后的出栈中是否是相反排序的呢？cba满足
当c第二个出栈，在原序列中相对位置比它小的是ab，ab二个元素在c出栈之后的出栈中是否是相反排序的呢？ba满足
当b第三个出栈，在原序列中相对位置比它小的是a，a一个元素在b出栈之后的出栈中是否是相反排序的呢？a满足
当a第四个出栈，在原序列中没有比a更小的啦，所以满足条件。
当e第五个出栈，在原序列中相对位置比它小的是abcd，abcd四个元素在d出栈之后的出栈中是否是相反排序的呢？由于e之后只有f，因此满足条件

第三个选项

当e第一个出栈，在原序列中相对位置比它小的是abcd，abcd四个元素在e出栈之后的出栈中是否是相反排序的呢？dcba满足
当d第二个出栈，在原序列中相对位置比它小的是abc，abc三个元素在d出栈之后的出栈中是否是相反排序的呢？cba满足
当c第三个出栈，在原序列中相对位置比它小的是ba，ba二个元素在c出栈之后的出栈中是否是相反排序的呢？ba满足
当b第四个出栈，在原序列中相对位置比它小的是a，a一个元素在b出栈之后的出栈中是否是相反排序的呢？a满足
当a第五个出栈，在原序列中没有比a更小的了，所以满足条件

第四个选项

当d第一个出栈，在原序列中相对位置比它小的是abc，abc三个元素在b出栈之后的出栈中是否是相反排序的呢？bca不满足

二：对于有多少种出栈的顺序

n个元素进栈，共有多少种出栈顺序？

1.基于栈的问题分析

我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：

f(1) = 1 //即 1

f(2) = 2 //即 12、21

f(3) = 5 //即 123、132、213、321、231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析：

1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；

2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)，根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；

3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，

根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；

4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即f(3)；

结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

即

但这只是一个递推公式（若编程实现，需要维护一个一维数组，时间复杂度为O(n^2)）。怎么把它转化为通项公式呢，复杂度仅为O(1)?

2. 相关的求解方法

（1）非常规数值分析

对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。

显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。

由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)。其中，n为节点的个数。

（2）从图像上分析

事实上，可以认为问题是，任意两种操作，要求每种操作的总次数一样，且进行第k次操作2前必须先进行至少k次操作1。我们假设一个人在原点，操作1是此人沿右上角45°走一个单位（一个单位设为根号2，这样他第一次进行操作1就刚好走到（1,1）点），操作2是此人沿右下角45°走一个单位。第k次操作2前必须先进行至少k次操作1，就是说明所走出来的折线不能跨越x轴走到y=-1这条线上！在进行n次操作1和n此操作2后，此人必将到到达（2n，0）！若无跨越x轴的限制，折线的种数将为C（2n，n），即在2n次操作中选出n次作为操作1的方法数。

现在只要减去跨越了x轴的情况数。对于任意跨越x轴的情况，必有将与y=-1相交。找出第一个与y=-1相交的点k，将k点以右的折线根据y=-1对称（即操作1与操作2互换了）。可以发现终点最终都会从（2n，0）对称到（2n，-2）。由于对称总是能进行的，且是可逆的。我们可以得出所有跨越了x轴的折线总数是与从（0,0）到（2n,-2）的折线总数。而后者的操作2比操作1要多0-（-2）=2次。即操作1为n-1,操作2为n+1。总数为C（2n，n-1）。（此处类似于上面的数值角度分析）