【2024数模国赛赛题思路公开】国赛C题思路丨附可运行代码丨无偿自提

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2024年国赛C题解题思路

C 题  农作物的种植策略

根据乡村的实际情况，充分利用有限的耕地资源，因地制宜，发展有机种植产业，对乡村经济的可持续发展具有重要的现实意义。选择适宜的农作物，优化种植策略，有利于方便田间管理，提高生产效益，减少各种不确定因素可能造成的种植风险。

某乡村地处华北山区，常年温度偏低，大多数耕地每年只能种植一季农作物。该乡村现有露天耕地 1201 亩，分散为 34 个大小不同的地块，包括平旱地、梯田、山坡地和水浇地 4 种类型。平旱地、梯田和山坡地适宜每年种植一季粮食类作物；水浇地适宜每年种植一季水稻或两季蔬菜。该乡村另有16 个普通大棚和4 个智慧大棚，每个大棚耕地面积为0.6 亩。普通大棚适宜每年种植一季蔬菜和一季食用菌，智慧大棚适宜每年种植两季蔬菜。同一地块（含大棚）每季可以合种不同的作物。详见附件1。

根据农作物的生长规律，每种作物在同一地块（含大棚）都不能连续重茬种植，否则会减产；因含有豆类作物根菌的土壤有利于其他作物生长，从 2023 年开始要求每个地块（含大棚）的所有土地三年内至少种植一次豆类作物。同时，种植方案应考虑到方便耕种作业和田间管理，譬如：每种作物每季的种植地不能太分散，每种作物在单个地块（含大棚）种植的面积不宜太小，等等。2023年的农作物种植和相关统计数据见附件 2。

请建立数学模型，研究下列问题：

问题1 假定各种农作物未来的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价格相对于 2023 年保持稳定，每季种植的农作物在当季销售。如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量，超过部分不能正常销售。请针对以下两种情况，分别给出该乡村 2024~2030 年农作物的最优种植方案，将结果分别填入result1_1.xlsx 和result1_2.xlsx 中（模板文件见附件3）。

(1)  超过部分滞销，造成浪费；

(2)  超过部分按2023 年销售价格的50%降价出售。

【题目分析】

任务：在假定农作物的销售量、种植成本、亩产量和销售价格稳定的情况下，为乡村2024-2030年制定最优的种植方案。需要考虑两种情况：

1. 滞销浪费：超出部分无法销售，需合理分配种植面积，避免浪费。
2. 降价出售：超出部分按50%的价格出售，这可能影响种植策略，需要平衡不同农作物的收益和种植面积。

【初步思路】

第一问的详细思路与建模过程

问题背景：

我们需要在假定农作物的销售量、种植成本、亩产量和销售价格稳定的情况下，为乡村2024-2030年制定最优种植方案。目标是最大化利润，并要考虑两种情况：

1. 滞销浪费：超过部分无法销售，造成浪费。
2. 降价出售：超过部分按原售价的50%处理。

【解题思路】

一、问题转化为数学模型

1. 变量定义

• 地块变量：

• • 记Ai 表示第 i 个地块的面积（亩），i=1,2,...,n，其中n=34 。
  • 每个地块可以种植不同的作物，记 Xu 为第i个地块种植第j种作物的面积（亩），j=1,2,...,m，其中 m 是作物种类。
• 作物产量和价格：
  • 记 Yj为第j种作物的单位面积产量（吨/亩），Pj 为该作物的单位售价（元/吨）。

• 成本和收益：
  • 记 Cj 为种植第j种作物的单位面积成本（元/亩）。
  • 收益为作物销售量与售价的乘积，超出销售量部分按不同情况处理。

• 作物销售量约束：
  • 设第j种作物的预期销售量为 Sj（吨），当种植量超过此值，需根据不同情况处理。

2. 目标函数

目标是最大化2024-2030年种植方案的总利润。首先，作物的总产量为：

基于此，作物的利润分为两种情况：

1. 滞销浪费： 当 QU≤SJ 时，所有产量均以正常价格出售；当 QU＞SJ 时，超过部分无法出售。总利润为：

      2. 降价出售： 当 QU＞SJ 时，超过部分以50%的价格出售，收益为：

整个种植方案的总利润为所有地块和作物的利润之和：

      3. 约束条件

• 面积约束：每个地块的作物种植面积不能超过总面积：

• 作物适应性约束：不同地块只能种适宜的作物。例如，梯田和山坡地只能种粮食类作物，水浇地可以种水稻或蔬菜。
• 轮作约束：每块地在三年内至少种一次豆类作物。用二进制变量 Bij 表示某季是否种植豆类作物：

二、引入智能优化算法

由于问题涉及多个地块、多种作物，并且有复杂的约束条件和非线性目标函数，使用智能优化算法（如遗传算法）更为适合。

1. 遗传算法（GA）概述

• 编码：每个地块的种植方案表示为一个基因，整个种植方案为一个个体。
• 适应度函数：适应度函数为目标函数，即总利润，目标是通过选择、交叉、变异操作逐步优化种植方案。

• 操作步骤：
  1. 初始种群生成：随机生成一批种植方案。
  2. 适应度评估：计算每个方案的总利润。
  3. 选择：根据适应度高低选择个体。
  4. 交叉与变异：生成新个体并确保种群多样性。
  5. 终止条件：达到设定迭代次数或适应度不再显著提高。

2. 遗传算法的公式表示

• 选择操作：轮盘赌选择法，个体被选中的概率为：

其中 fi为第 i 个个体的适应度，N 为种群大小。

• 交叉操作：两个种植方案交叉生成新的方案，交叉概率为Pc，生成新个体的公式为：

变异操作：随机调整种植面积，变异概率为Pm。

【Python参考代码】

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import linprog
import random
import seaborn as sns# 读取农作物信息（面积、作物类型、单价、产量等）
land_data = pd.read_excel('/path/to/附件1.xlsx')
production_data = pd.read_excel('/path/to/附件2.xlsx')# 地块面积信息
area = land_data['地块面积'].values# 2023年农作物信息，包括单价、种植成本、产量等
crop_data = production_data[['作物类型', '产量', '单价', '种植成本', '预期销售量']].set_index('作物类型')# 从crop_data提取变量
yield_per_acre = crop_data['产量'].values
price_per_ton = crop_data['单价'].values
cost_per_acre = crop_data['种植成本'].valuessales_expectation = crop_data['预期销售量'].values# 变量数量
num_land_blocks = len(area)  # 地块数量
num_crops = len(crop_data)   # 作物种类数量# 遗传算法相关参数
population_size = 50
generations = 100
mutation_rate = 0.01# 初始化种群
def init_population(size):return np.random.rand(size, num_land_blocks, num_crops)# 适应度函数，计算总利润
def fitness(individual):profit = 0for i in range(num_land_blocks):for j in range(num_crops):planted_area = individual[i, j] * area[i]production = planted_area * yield_per_acre[j]if production <= sales_expectation[j]:profit += production * price_per_ton[j] - planted_area * cost_per_acre[j]else:surplus = production - sales_expectation[j]profit += sales_expectation[j] * price_per_ton[j] + surplus * (price_per_ton[j] / 2) - planted_area * cost_per_acre[j]return profitchild1.flat[point:], child2.flat[point:] = parent2.flat[point:], parent1.flat[point:]return child1, child2# 变异操作
def mutate(individual):if np.random.rand() < mutation_rate:i = np.random.randint(num_land_blocks)j = np.random.randint(num_crops)individual[i, j] = np.random.rand()return individual# 主遗传算法过程
def genetic_algorithm():population = init_population(population_size)best_solution = Nonebest_fitness = float('-inf')fitness_history = []for generation in range(generations):population = selection(population)new_population = []# 交叉产生新个体for i in range(0, len(population), 2):parent1 = population[i]parent2 = population[min(i+1, len(population)-1)]child1, child2 = crossover(parent1, parent2)new_population.append(mutate(child1))new_population.append(mutate(child2))population = np.array(new_population)# 记录最佳个体gen_best = max(population, key=fitness)gen_best_fitness = fitness(gen_best)fitness_history.append(gen_best_fitness)if gen_best_fitness > best_fitness:best_solution = gen_bestbest_fitness = gen_best_fitnessprint(f"Generation {generation + 1}: Best Fitness = {best_fitness}")return best_solution, fitness_history# 运行遗传算法
best_solution, fitness_history = genetic_algorithm()# 总利润随代数变化趋势
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(fitness_history, label='Total Profit')
plt.xlabel('Generations')
plt.ylabel('Profit')
plt.title('Total Profit Over Generations')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()# 各地块的最佳作物种植方案
def plot_solution(solution):plt.figure(figsize=(12, 8))sns.heatmap(solution, annot=True, fmt=".2f", cmap='Blues', xticklabels=crop_data.index, yticklabels=land_data['地块名称'])plt.title("Optimal Crop Distribution Across Lands")plt.xlabel("Crops")plt.ylabel("Land Blocks")plt.show()# 可视化最佳种植方案
plot_solution(best_solution)

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