本文主要是介绍LEAN 类型理论之注解（Annotations of LEAN Type Theory）—— 定义上相等（Definitional Equality），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
定义上相等（Definitional Equality）指的是意义上相等，即同义，包括了，定义的缩写（Abbreviatory Definition），alpha转换，相同替代（substituting equals for equals）等。下面是LEAN给定的何谓 定义上相等。
注：罗列的推演规则中，如自明其义的，则不多加解析其前提、结果、或特定注解。
一、表达式的定义上相等（Definitional Equality of Expressions）（Γ ⊢ e₁ ≡ e₂）
1. 定义上相等的自反性（Reflexive）
前提（Premises）：
a. 在 Γ 的假设，表达式 e 的类型是 α。
结果（Conclusion）：
在 Γ 的假设，表达式 e 定义上等于表达式 e 自己。
2. 定义上相等的互换性（Commutive）
3. 定义上相等的传递性（Transitive）
4. 类型宇宙的定义上相等（Definitional Equality for Universes）
5. 函数应用的同义替换（Substituting equals for equals in Application Typing Rule）
6. 抽象化的同义替换（Substituting equals for equals in Abstraction Typing Rule）
7. 依赖函数类型的同义替换（Substituting equals for equals in Dependent Function Type）
8. Beta 简化 （Beta Reduction）
注解：
该推演规则定义了，LEAN的Beta简化，即，函数应用（Function application, or application in short） 在定义上相等于（Definitional equals）函数体的表达式 e 中，将所有输入变量替换成调用时输入的表达式 e'。
9. Eta 简化（Eta Reduction）
注解：
该推演规则定义了，LEAN的 Eta简化，即，对已有的函数 e 再抽象化，定义上相等于（Definitional equals）其自己 e （itself）。
10. 证明无关性（Proof Irrelevance）
前提（Premises）：
a. 在 Γ 的假设，类型表达式 p 存在于类型宇宙 ℙ，即 p 是一个命题，ℙ 为命题类型宇宙。
b. 在 Γ 的假设，表达式 h 的类型为 类型表达式 p，即 h 证明了 p。
c. 在 Γ 的假设，表达式 h' 的类型为 类型表达式 p，即 h' 证明了 p。
结果（Conclusion）：
在 Γ 的假设，表达式 h 定义上等于表达式 h' 。
注解：
该推演规则定义了，如果两个不同的证据（proof），h 和 h'，证明了同样的命题 p，那么这两个证据在定义上相等（Definitional equals）。
二、宇宙层次的定义上相等（Definitional Equality of Levels）
宇宙层次的定义上相等通过不等式来定义，即 𝑙 ≤ 𝑙' + n, n ∈ ℤ，当 n = 0时，𝑙 ≤ 𝑙'。另外在其论文有简要的说明，如何理解这个宇宙层次，这里就直接引用了。
然后，再分别对每条推演规则进行注解。
1. 宇宙层次的定义上相等 （Definitional Equality of Levels）（𝑙 ≡ 𝑙'）
2. 宇宙层次必须大于等0
3. 宇宙层次大于等于自身
4. 定义不等式左边的下一级的宇宙层次
注解：当前宇宙层次 𝑙 ，另一宇宙层次 𝑙‘，有 𝑙 ≤ 𝑙‘ + (n - 1)，那么，当前宇宙层次 𝑙 的下一级宇宙层次 S𝑙 ，会有 S𝑙 ≤ 𝑙‘ + (n - 1) + 1，即 S𝑙 ≤ 𝑙‘ + n 。也就是说，S𝑙 是 𝑙 层次的递进 1 级（+1）。
5. 定义不等式右边的下一级的宇宙层次
注解：定义在不等式右边的，S𝑙' ≡ 𝑙' + 1
6. 定义 作用在宇宙层次的 max函数 和 imax 函数
注解：当 𝑙₁ + n 或 𝑙₂ + n 大于等于 𝑙，不管 𝑙₁ 和 𝑙₂ 谁的值大，其 max(𝑙₁, 𝑙₂) 都是获取其中的最大值，因此， max(𝑙₁, 𝑙₂) + n 必然 大于等于 𝑙。上面两个推演规则说明了，max函数内的左右输入的位置不影响其输出的结果。
注解：当max函数的左右输入都小于等于 𝑙 + n 时，那么其结果也小于等于 𝑙 + n，即 max 只获取左右输入的较大值，而不增减其宇宙层次。
注解：当 imax函数的右输入为层次 0 时，其输出亦为 0 。即，imax 函数的左右输入需要严格区分，会影响其输出的结果。
注解：当 imax函数的右输入不等于 0 时，即 S𝑙₂，必大于0，其等价于max函数。
注解：由于imax函数对其右输入是否为0敏感，因此，分析上面两条推演规则，即不等式左右两边的max函数与imax函数的关系，时，可按情况分别分析 𝑙₃ 是否等于 0。
注释：这里突出了 𝑙 是宇宙层次表达式，其中可含有宇宙层次变量 u，在实际使用的过程中，其变量会被替换成实际的自然数值。
口
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