指数分布的两种形式

本文主要是介绍指数分布的两种形式，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

指数分布是连续概率分布的一种，常用于描述等待时间、寿命等随机变量的分布。

1. 标准形式的指数分布

标准形式的指数分布的概率密度函数（PDF）为：

$$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& \text{if }x\ge 0\\ 0& \text{if }x<0\end{array}$$

其中，$\lambda >0$ 是速率参数（rate parameter），表示单位时间内发生某事件的平均次数。

• 累积分布函数（CDF）：

$$F(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x}& \text{if }x\ge 0\\ 0& \text{if }x<0\end{array}$$

• 期望（均值）：$\frac{1}{\lambda }$
• 方差：$\frac{1}{{\lambda }^2}$

2. 通过尺度参数变换的指数分布

为了和正态分布PDF等其他指数家族函数作类比分析，也会使用尺度参数（scale parameter）$\theta$ 来代替率参数 $\lambda$。此时，概率密度函数变为：

$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-\frac{x}{\theta }}& \text{if }x\ge 0\\ 0& \text{if }x<0\end{array}$$

其中，$\theta >0$ 是尺度参数，表示平均等待时间或平均寿命等。

• 注意：这里的 $\theta$ 和 $\lambda$ 是倒数关系，即 $\theta =\frac{1}{\lambda }$。

• 累积分布函数（CDF）：

$$F(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\frac{x}{\theta }}& \text{if }x\ge 0\\ 0& \text{if }x<0\end{array}$$

• 期望（均值）：$\theta$
• 方差：${\theta }^2$

在这种表示下，$\theta$是分布的均值，它的极大似然估计是样本均值。 $\lambda$ 越小，也就是$\theta$越大越拖尾。

MATLAB中，expfit和mle函数计算参数的极大似然估计。

很神奇，很多分布的PDF都是指数函数。例如常见的高斯函数，也就是正态分布的概率密度函数也是指数家族函数：

$$f(x|\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

方差 ${\sigma }^2$ 越小，曲线越陡峭，表示数据越集中；方差越大，曲线越平坦，表示数据越分散。

这篇关于指数分布的两种形式的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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