最近点对问题搞不懂？一篇文章就够了

本文主要是介绍最近点对问题搞不懂？一篇文章就够了，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

标题：你以为找最近点对只是暴力计算？不，分治算法才是真正的王牌！

你以为最近点对问题就是简单的“比比看谁最近”？但你知道吗，很多人用了暴力解法，认为两两比较再选出最小距离就行了！表面上看，这确实是最直接的思路，但你若是真这么做，恭喜你，成功入坑！这种 (O(n^2)) 的算法可不是你想要的，尤其是在竞赛场上，那简直是拖后腿！在今天的这篇文章里，我们要来打破这个误解，揭开真正高效解决最近点对问题的神秘算法——分治法（Divide and Conquer）。

为什么暴力法行不通？看清背后的时间复杂度！

最近点对问题很简单，给定一组点，要找到两个最近的点对。这不就是在点与点之间比距离吗？但如果你这么想，那就要小心了！暴力法的时间复杂度是 (O(n^2))，因为要比较每一对点的距离。这种方法在点数少时看起来还不错，但一旦数据量大了，它的效率就让你哭都哭不出来！但分治算法的出现，正是为了解决这一难题。

1. 分治法登场：把“大象”劈开来，效率提升一百倍！

分治法的思路是什么？一言以蔽之：分而治之！就像你切西瓜一样，把问题一分为二，先解决每一部分的小问题，再合并结果。分治法能将时间复杂度降到 (O(n \log n))，这可不是简单的一点点优化，而是质的飞跃！到底是怎么做到的呢？我们一步步来看！

步骤拆解：简单五步，步步为营

排序：从简单入手
先将所有点按照 x 坐标进行排序（如果有必要，再按照 y 坐标排序）。你可能觉得这跟“比距离”没什么关系，但别急，高手的操作就在这些细节中！
分治分割：分而治之的第一步，开刀！
将点集一分为二，分别成为左右两部分。注意了，这里选择的是中位数点，将整个点集分成几乎相等的两部分，这样才能确保后续算法的平衡性！
递归计算：子问题的解决方案，效率拉满！
对于左右两部分，分别递归地求解最近点对。别小看这一步，这就是分治法的精髓所在！递归地处理子问题，解决了就可以合并了。
合并结果：跨区域比较是关键！
两部分的最小距离可能不在同一部分内，而是跨越中线的。因此，我们需要在左右两部分之间进行一次合并检查，找出左右最近点之间的最小距离。这一步就考验你的理解能力了！此处只需考虑到距离中线不超过 (\delta) 的点，因为更远的就不可能更近。
巧妙的带宽问题：别让繁琐计算拖慢了你！
你可能以为跨区域的比较很麻烦，但实际上，我们只需要考虑每个点最多 6 个候选点就行了！为什么？想象一下，这些点在一个 2(\delta) x (\delta) 的矩形区域内，且相隔距离不超过 (\delta)。巧妙的数学证明告诉你，这样的比较效率完全不需要担心。

看了这五步，你可能觉得这听起来依旧很复杂。别急，我们把所有步骤都放进一段代码中，真相就清晰了！

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <float.h>
#include <math.h>typedef struct {double x, y;
} Point;// 按x坐标排序
int compareX(const void* a, const void* b) {Point* p1 = (Point*)a;Point* p2 = (Point*)b;return (p1->x - p2->x);
}// 按y坐标排序
int compareY(const void* a, const void* b) {Point* p1 = (Point*)a;Point* p2 = (Point*)b;return (p1->y - p2->y);
}// 计算两点之间的欧几里得距离
double distance(Point p1, Point p2) {return sqrt((p1.x - p2.x) * (p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y) * (p1.y - p2.y));
}// 跨越分割线寻找最小距离
double stripClosest(Point strip[], int size, double d) {double min = d;  // 初始化最小距离为 dqsort(strip, size, sizeof(Point), compareY);  // 按 y 坐标排序for (int i = 0; i < size; ++i) {for (int j = i + 1; j < size && (strip[j].y - strip[i].y) < min; ++j) {double dist = distance(strip[i], strip[j]);if (dist < min) {min = dist;}}}return min;
}// 分治法计算最近点对
double closestUtil(Point points[], int n) {if (n <= 3) {double minDist = FLT_MAX;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j < n; j++) {double dist = distance(points[i], points[j]);if (dist < minDist) {minDist = dist;}}}return minDist;}int mid = n / 2;Point midPoint = points[mid];double dl = closestUtil(points, mid);double dr = closestUtil(points + mid, n - mid);double d = fmin(dl, dr);Point strip[n];int j = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (fabs(points[i].x - midPoint.x) < d) {strip[j] = points[i];j++;}}return fmin(d, stripClosest(strip, j, d));
}// 最近点对主函数
double closest(Point points[], int n) {qsort(points, n, sizeof(Point), compareX);return closestUtil(points, n);
}// 测试用例
int main() {Point points[] = {{2, 3}, {12, 30}, {40, 50}, {5, 1}, {12, 10}, {3, 4}};int n = sizeof(points) / sizeof(points[0]);printf("最近点对的距离: %.6f\n", closest(points, n));return 0;
}