P7958 [COCI2014-2015#6] NEO

本文主要是介绍P7958 [COCI2014-2015#6] NEO，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

题目大意

翻译的基本题面就不多说了，我们来大概分析一下题目。

• 序列会变回来：我们可以观察到，在 $n$ 次变换后，序列会还原。也就是说，两个循环在同一个 $i$ 上操作的序列是一样的。
• 下标的空间：然后我们再分析一下不难发现，下标是一大一小，也就是 $\min \left(I{D}_i,I{D}_{i+1}\right)$ 和 $\min \left(I{D}_i,I{D}_{i+1}\right)+1$，所以我们求 $I{D}_i$ 时，去求 $I{D}_{i-1}$ 就好了。聪明的小朋友想到动态规划了，那么再找找。
• 连续性：再找一找就可以发现就是选择一些边，那么就可以知道状态之间是关联的。

思路概述

经过了上面的思考，我们就不难可以发现，这道题肯定用动态规划。我总结了两种方法供大家食用：

强行 dp

这种思路是我一开始想出来的，其实挺好设的。我们就设 $f_{i,j}$ 表示在 $i$ 的时候选 $j$ 所能取到的最大贡献，所以我们就可以得到一个转移方程。
$$f_{i,j}=\underset{k=1}{\overset{n-1}{\max }}\left(f_{i-1,k}+A_{\min \left(j,k\right)}-A_{\max \left(j,k\right)}+1\right)$$
但是肯定有同学一眼丁真，发现时间复杂度太大了，所以我们优化成这个样子：
$$f_{i,j}=\max \left(A_j+\underset{k=j}{\overset{n-1}{\max }}\left(f_{i-1,k}-A_{k+1}\right)-A_{j+1}+\underset{k=1}{\overset{j}{\max }}\left(f_{i-1,k}+A_k\right)\right)$$
然后后面的东西我们可以使用前缀或者是后缀和搞定。然后我们上一下核心代码：

pre[0]=suf[n]=-1e9;
for(i=1;i<=n;++i,solve()){for(k=1;k<n;++k){if(pre[k-1]>=f[i-1][k]+A[k]){pre[k]=pre[k-1];pref[k]=pref[k-1];}else{pre[k]=f[i-1][k]+A[k];pref[k]=k;}}for(k=n-1;k;--k){if(suf[k+1]>=f[i-1][k]-A[k+1]){suf[k]=suf[k+1];suff[k]=suff[k+1];}else{suf[k]=f[i-1][k]-A[k+1];suff[k]=k;}}for(j=1;j<n;++j){int p=pre[j]-A[j+1],s=suf[j]+A[j];if(p>=s){f[i][j]=p;trans[i][j]=pref[j];}else{f[i][j]=s;trans[i][j]=suff[j];}}
}

但是，这个空间复杂度不够优秀，所以我们再换一种。

正解

那么我们可以对于每一个 $i$ ，我们可以设
$$i{d}_1=\min (I{D}_i,I{D}_{i+1}),id2=min(I{D}_i,I{D}_{i+1})$$
所以，我们就可以得到 $sum=A_{i{d}_i}-A_{i{d}_2+1}$。
同时，这也让我们想到了差分这件事情，所以我们可以构建出一个 $\left(n-1\right)\times n$ 的矩阵，每一行都是旋转后记录的差分数组。但是动态规划的数组怎么设计呢？其实很简单，设 $f_{i,j,k}$ 表示走到了 $\left(i,j\right)$ 这个位置的时候，方向是 $k$ 的最长路径，所以就有如下的转移方程。
$$f_{i,j,0}=\max \left(f_{i-1,j,0/1/2}+B_{i,j}\right)f_{i,j,1}=\max \left(f_{i,j+1,0/1}+B_{i,j}\right)f_{i,j,2}=\max \left(f_{i,j-1,0/2}+B_{i,j}\right)$$
代码就不贴了。

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