本文主要是介绍递归分治-递归,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
递归的概念
直接或者间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出的定义的函数称为递归函数。递归的应用是相当规范的, 也易于理解。只是要讲问题抽象成使用递归来解决,这是一个比较困难的过程。
阶乘函数
阶乘函数的定义:
n!=
阶乘函数的自变量n 的定义域是非负整数。递归式的第一个式给出了这个函数的初始值,是非递归定义的。每个递归函数都必须有非递归定义的初始值,否则,递归函数就无法进行计算。
计算该函数的时间复杂度,基本如下:
T(n)=T(n-1)+1
经过计算,得到T(n)=O(n)
代码如下:
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int RecurFunction(int n);
int main()
{int num=0;printf("Please input a num:");scanf("%d",&num);if (num<0){printf("the data is not allowed\n");}int result = RecurFunction(num);printf("The %d 的阶乘为%d\n",num,result);return 0;
}
//递归定义的函数
int RecurFunction(int n)
{if (n ==0){return 1;}else {return (n*RecurFunction(n - 1));}
}
Fibonacci数列
无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……,称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为:
F(n) =
代码实现如下:
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int Fabonacci(int n);
int main()
{int num = 0;printf("Please input a num:");scanf("%d", &num);if (num<0){printf("the data is not allowed\n");}int result = Fabonacci(num);printf("The Fabonacci(%d)为 %d\n", num, result);return 0;
}
int Fabonacci(int n)
{ if (n == 0 || n == 1){return 1;}else{return Fabonacci(n - 1) + Fabonacci(n - 2);}
}
全排列
在高中数学里,我们都学过全排列,其计算公式为A_n^n(n表示全排列的元素个数),比如“123”,其全排列就有6种,分别是“123”、“132”、“213”、“231”、“312”、“321”。那么在编程中如何体现出该公式呢?
算法中这样定义该类问题:设R={r_(1, ) r_(2,) r_3……}是要进行排列的n个元素,R_i=R-{r_i}。集合X中的元素的全排列记为Perm(X).(r_i)Perm(X)表示在全排列Perm(X)的每一个排列前加上前缀r_i得到全排列。R的前排列定义可归纳定义如下:
当n=1时,Perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素;
当n>1时,Perm(R)是由(r_1)Perm(R_1), (r_2)Perm(R_2), (r_3)Perm(R_3)……(r_n)Perm(R_n)构成。
所以其递归实现如下(代码是看的网上的:http://blog.csdn.net/caigen1988/article/details/7760177)
代码实现如下:
//全排列的递归实现
#include <stdio.h>
#include <string.h>
void Swap(char *a, char *b)
{char t = *a;*a = *b;*b = t;
}
//k表示当前选取到第几个数,m表示共有多少数.
void AllRange(char *pszStr, int k, int m)
{if (k == m){static int s_i = 1;printf(" 第%3d个排列\t%s\n", s_i++, pszStr);}else{for (int i = k; i <=m; i++) //第i个数分别与它后面的数字交换就能得到新的排列 {Swap(pszStr + k, pszStr + i);AllRange(pszStr, k + 1, m);Swap(pszStr + k, pszStr + i);}}
}
void Foo(char *pszStr)
{AllRange(pszStr, 0, strlen(pszStr) - 1);
}
int main()
{printf(" 全排列的递归实现\n");printf(" --by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )--\n\n");char szTextStr[] = "1234"; //字符串存储到字符数组中printf("%s的全排列如下:\n", szTextStr);Foo(szTextStr);return 0;
}
递归实现的算法复杂度:T(n)=n*(C+T(n-1))
其中C表示执行交换函数的复杂度,其与问题规模无关,故用常数表示。
经过计算,T(n)=n!
上述算法并未实现去重效果,故去重的全排列如下:
其中关键就是:需要从第一个数字起每个数分别与它后面非重复的数字进行交换。(参见http://blog.csdn.net/caigen1988/article/details/7760177)
代码如下:
//去重全排列的递归实现 #include <stdio.h> #include <string.h> void Swap(char *a, char *b) { char t = *a; *a = *b; *b = t; } //在pszStr数组中,[nBegin,nEnd)中是否有数字与下标为nEnd的数字相等 bool IsSwap(char *pszStr, int nBegin, int nEnd) { for (int i = nBegin; i < nEnd; i++) if (pszStr[i] == pszStr[nEnd]) return false; return true; } //k表示当前选取到第几个数,m表示共有多少数. void AllRange(char *pszStr, int k, int m) { if (k == m) { static int s_i = 1; printf(" 第%3d个排列\t%s\n", s_i++, pszStr); } else { for (int i = k; i <= m; i++) //第i个数分别与它后面的数字交换就能得到新的排列 { if (IsSwap(pszStr, k, i)) { Swap(pszStr + k, pszStr + i); AllRange(pszStr, k + 1, m); Swap(pszStr + k, pszStr + i); }} } } void Foo(char *pszStr) { AllRange(pszStr, 0, strlen(pszStr) - 1); } int main() { printf(" 去重全排列的递归实现\n"); printf(" --by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )--\n\n"); char szTextStr[] = "122"; printf("%s的全排列如下:\n", szTextStr); Foo(szTextStr); return 0; }
这篇关于递归分治-递归的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!