Pollard‘s p-1因子分解法——C语言实现

本文主要是介绍Pollard‘s p-1因子分解法——C语言实现，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

前置知识

smooth与powersmooth

光滑数（smooth number），或译脆数，是一个可以因数分解为小质数乘积的正整数
如果一个整数的所有素因子都不大于B，我们称这个整数是B-Smooth数
如果一个整数的所有素因子的对应指数次幂不大于B，我们称这个整数是B-powersmooth数
720(24∗32∗51)720(24∗32∗51) 是一个5-smooth数，6-smooth数，7-smooth数
但51<32<24=1651<32<24=16，所以它也是一个16-powersmooth数

费马小定理

当a是一个整数，p是一个质数时，有费马小定理:

ap−1≡1(modp)ap−1≡1(modp)

算法详解

1、我们的目的是分解出整数n的因子
2、如果我们可以找到一个与 n 不互质的整数 s，则可直接通过求gcd(s,n)gcd(s,n) 求得 n 的一个因子
证明: 因为 n与s不互质,那么n与s之间必然存在公因子，又因为n是质数相乘得到的，那么 gcd(n,s)gcd(n,s)一定是n的因子
3、我们的思路转化成如何求这样的s
4、假设p为n的一个未知的素数，单独的p是难以求出的，我们可以构造出含有因子p的数s，从而得到 gcd(s,n)gcd(s,n)，即得到n的因子
5、如何求这种s?
6、我们构造 xx,xx 满足x≡1(modp)x≡1(modp)，那么就有 gcd(x−1,n)gcd(x−1,n) 为n的因子
7、那如何得到这样

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